8.2. Помехоустойчивость импульсно-кодовой модуляции

Одной из причин, приводящих к отличию принятого сообщения от переданного в системе с ИКМ, является шум квантования, другой - помехи в канале, которые накладываются на передаваемые символы кодовых комбинаций и могут вызвать ошибки. Ошибки в символах (при отсутствии избыточности) приводят к ошибочному декодированию всей кодовой комбинации.

В результате ошибочного декодирования символа действительно переданное дискретное значение сообщения заменяется другим возможным (не обязательно ближайшим); погрешность зависит от того, какие из символов кодовой комбинации приняты с ошибкой. Назовем эту составляющую шума шумом ложных импульсов. Таким образом, при оценке помехоустойчивости необходимо учитывать суммарный шум как за счет квантования, так и за счет ложных импульсов при декодировании.

Шум квантования не связан с помехами в канале и целиком определяется выбором числа уровней квантования. Его можно сделать сколь угодно малым, увеличивая число уровней. При этом придется увеличивать число кодовых символов, приходящихся на каждый отсчет, а следовательно, сокращать длительность символа и расширять спектр сигнала в канале. Таким образом, так же, как и при помехоустойчивых аналоговых видах модуляции, снижение этого шума достигается за счет расширения спектра сигнала.

Шум ложных импульсов является аномальным (см. § 7.5). Он полностью определяется помехами в канале и видом модуляции несущей. При расширении спектра сигнала мощность аномального шума, как правило, возрастает.

Мощность шума квантования. Для определения мощности шума квантования представим реализацию b (t) непрерывного сообщения ее разложением в ряд Котельникова:

После фильтрации квантованных отсчетов получим функцию b_КВ (t) приближенно отображающую исходное сообщение b(t):

Представим далее квантованное значение отсчета b_KB(kΔt) в - виде суммы

где χ_k - безразмерная случайная величина, лежащая в интервале -0,5<χ_k<0,5. В расчетах часто принимают, что погрешность квантования имеет равномерное распределение (при большом числе уровней квантования это близко к истине):

Обозначив отсчетную функцию Котельникова в (8.1) через ψ_k(t) перепишем (8.2) в виде

или

тогда погрешность квантования (шум квантования)

С учетом (8.4) имеем

Следовательно, средняя мощность шума квантования

а отношение средних мощностей сообщения и шума квантования

Выразим Δb через число уровней L. Полагая, что B(t) нормированное сообщение -1<B(t)<1 (см. § 6.5), получим

С другой стороны, согласно (7.30)

где Π пик-фактор сообщения. Тогда

где n - число символов на отсчет при безызбыточном двоичном коде. Из (8.11) следует, что верность квантованного сообщения зависит от числа уровней квантования. Выбирая его достаточно большим, можно уменьшить относительное значение шума квантования до любого допустимого значения. В табл. 8.1 приведена зависимость отношения Р_в/Р_ε от числа уровней квантования при

равномерном распределении

когда

Из табл. 8.1 следует, что добавление каждого двоичного символа в кодовой комбинации (увеличение разрядности кода) улучшает отношение Р_в/Р_ε приблизительно на 6 дБ. С другой стороны, увеличение разрядности требует повышения быстродействия многоразрядных кодирующих устройств, а также соответствующего расширения полосы частот канала передачи.

Таблица 8.1

Чаще всего распределение сообщения не является равномерным и в полученные здесь цифры необходимо внести поправку. Для этого данные таблицы следует уменьшить по модулю на 20 lg(Π√3) дБ. При Π = 3 (телефонные сообщения) это составляет 4,8 дБ, а при Π = 10 (симфоническая музыка) 15,2 дБ.

Важной особенностью шума квантования, отличающей его от аддитивных шумов, является то, что он возникает одновременно с появлением сообщения B(t). С технической точки зрения шум квантования можно трактовать как разновидность нелинейных искажений, возникающих в процессе квантования. Поэтому шум 'квантования не изменяется при ретрансляции сигналов, т. е. не накапливается. Его непосредственное измерение затруднительно, m потому для количественной оценки используют расчетные приемы, один из которых рассмотрен выше.

Воздействие шума квантования на принимаемые сообщения можно заметно уменьшить, применяя неравномерное квантование, при котором большие уровни сообщения квантуются с большим шагом, а низкие уровни - с меньшим шагом (рис. 8.3). Очевидно, что шум квантования при этом коррелирован с сообщением и имеет тем меньшую мгновенную мощность, чем меньше уровень сообщения. Это позволяет при том же числе уровней лучше различать слабые отрезки сообщения. Если распределение вероятностей сообщения такое, что большие уровни встречаются значительно реже, чем малые (что имеет место, например, при передаче речи), то неравномерное квантование сводится к тому, что часто возникающие значения B(t) передаются с меньшей ошибкой квантования, а редко возникающие значения В (t) - с большей ошибкой квантования. В результате усреднения по всем значениям дисперсия ошибки квантования будет уменьшена.

Рис. 8.3. Характеристика квантователя с неравномерным шагом

Одним из распространенных способов неравномерного квантования является квантование с компандированием сигнала. Компандерная система представляет собой комплекс из двух нелинейных преобразователей с взаимно-обратными характеристиками - компрессора и экспандера (рис. 8.4). Динамический диапазон входного сигнала "сжимается" с помощью компрессора на передающей стороне, затем сигнал равномерно квантуется. Комбинация этих операций эквивалентна неравномерному квантованию, причем закон изменения шага квантования определяется нелинейной характеристикой компрессора. После кодирования и передачи по линии связи на приемной стороне производится обратное преобразование, восстанавливаются отсчеты с равномерным шагом квантования. Затем они подвергаются экспандированию, при котором восстанавливается исходный динамический диапазон. В настоящее время чаще всего применяется компандирование в цифровой форме, т. е. непосредственное неравномерное квантование.

Шум ложных импульсов при декодировании. Обозначим вероятность ошибочного приема одного символа кодовой комбинации через р. Эта вероятность зависит от вида модуляции и находится по формулам гл. 6. Предполагая ошибки при приеме символов независимыми, запишем выражение для P(q) - вероятности того, что кратность сочетания ошибок составит Δ:

Рис. 8.4. Схема, поясняющая принцип компандирования

Вероятность того, что кодовая комбинация принимается хотя бы с одной ошибкой при np<<1,

При декодировании каждый символ кодовой комбинации, в зависимости от занимаемого им места, дает определенный "вклад" в декодируемое сообщение. Если используется двоичный код, то ошибка в младшем разряде кодовой комбинации вызывает погрешность в выходном сообщении, равную шагу квантования Δb; ошибка во втором символе приводит к появлению в выходном сообщении погрешности 2Δb и т. д. При этом средняя мощность шума, обусловленного действием ложных импульсов,

При фиксированном значении n = log L шум ложных импульсов зависит только от вероятности ошибок р, которая, в свою очередь, определяется отношением мощностей сигнала и помехи в канале и видом модуляции.

Как отмечалось, в отличие от шума квантования, шум ложных импульсов накапливается при ретрансляции. Однако в правильно спроектированных системах с ИКМ мощность сигнала превышает пороговую, при которой аномальным шумом ложных импульсов, по сравнению с шумом квантования, можно пренебречь. При этом условии верность приема практически определяется шумом квантования и может быть сколь угодно большой, если число уровней достаточно велико.

Очевидно, что в системах с ИКМ так же, как и в других помехоустойчивых системах передачи непрерывных сообщений, имеет место порог помехоустойчивости, т. е. верность приема резко ухудшается, если мощность сигнала упадет ниже пороговой. Из сказанного выше ясно, что эта пороговая мощность увеличивается с ростом числа ретрансляторов, впрочем очень медленно. При этом пороговая мощность увеличивается и с ростом числа уровней квантования. Основная причина этого заключается в том, что чем больше число уровней, тем больше кодовых символов должно приходиться на один отсчет и, следовательно, тем меньше длительность передачи одного символа.

Поскольку же вероятность ошибки определяется энергией элемента сигнала, то при сокращении его длительности приходится увеличивать его мощность. Впрочем, это увеличение пороговой мощности также невелико по сравнению с соответствующим уменьшением шума квантования. Так, с переходом от 128 уровней квантования к 256 шум квантования уменьшается на 6 дБ (см. табл. 8.1). При этом вместо семи символов в кодовой комбинации приходится передавать восемь, так что длительность импульса уменьшится в 8/7 ≈ 1,14 раза. Для того чтобы сохранить прежнюю вероятность ошибки, нужно увеличить мощность сигнала в 1,14 раза, т. е. всего лишь на 0,6 дБ.

Следует отметить, что слабый шум ложных импульсов, имеющий место при работе над порогом помехоустойчивости, воспринимается (в телефонных системах) как более или менее редкие отдельные щелчки. Если мощность сигнала упадет и окажется ниже порога, эти щелчки становятся частыми и сливаются в сплошной шумовой фон. Аналогичная картина имеет место и для аномального шума в аналоговых системах (например, ЧМ).

Высокая помехоустойчивость ИКМ систем достигается за счет расширения спектра ИКМ сигнала по сравнению со спектром исходного сообщения. Найдем вначале минимальную ширину спектра ИКМ сигнала при основании кода m = 2. Если ширина спектра исходного сообщения равна F_с, то минимальная частота дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова равна 2F_c. Каждый отсчет после квантования может принимать L = 2L_max/Δb + +1 возможных дискретных значений и заменяется при кодировании комбинацией из n = logL двоичных импульсов. Следовательно, длительность каждого импульса не может быть больше, чем τ_H = 1/[2F_c log L], а необходимая полоса частот определяется как F' ≈ 1/(2τ_Η) = F_c log L. При двухполосной AM сигнал ИКМ-АМ будет занимать полосу частот

Поскольку при ИКМ верность передачи определяется числом уровней квантования, то увеличение верности сопровождается расширением спектра ИКМ сигнала по логарифмическому закону. Так, увеличение L в 2 раза приводит к увеличению ширины спектра сигнала в log 2L/log L = (1 + 1/log L) раз. Ширина спектра ИКМ сигнала зависит от основания кода m: при m = 2 ширина спектра ИКМ сигнала наибольшая; при увеличении т ширина спектра уменьшается.

Из изложенного следует, что в системе передачи с ИКМ, как и в помехоустойчивых аналоговых системах модуляции, производится "обмен" мощности сигнала на полосу частот. Принципиальная возможность такого обмена была показана в гл. 1. Однако в системе с ИКМ этот обмен осуществляется значительно эффективнее, чем в системах с аналоговой модуляцией. Действительно, как было показано на ряде примеров в гл. 7, в помехоустойчивых системах модуляции, таких как ЧМ, ФМ, ВИМ, отношение мощности сообщения к мощности шума на выходе растет пропорционально квадрату ширины спектра сигнала (если мощность сигнала выше пороговой). В системе с ИКМ имеет место значительно более быстрый, экспоненциальный рост этого отношения. Действительно, ширина спектра пропорциональна числу п символов в кодовой комбинации, тогда как мощность шума квантования уменьшается в соответствии с (8.10) почти пропорционально 2²ⁿ, Другими словами, пропорционально ширине спектра растет выигрыш системы, выраженный в децибелах.

Как было показано в § 7.4, такой же характер зависимости верности от ширины спектра должен быть в идеальной системе модуляции, так что в этом отношении ИКМ ведет себя как идеальная система. Более подробный анализ приводит к выводу, что при одинаковой ширине спектра выигрыш в ИКМ приблизительно на 8 дБ меньше, чем в теоретически идеальной системе. В настоящее время не существует систем модуляции, более близких к идеальной, если спектр передаваемого сообщения равномерный. Поэтому система с ИКМ широко используется в тех случаях, когда высокую верность необходимо обеспечить с минимальной затратой мощности передатчика, например в спутниковых системах. Более полное сравнение различных систем связи по их эффективности будет дано в § 10.2.