§ 8.32. Составление дифференциальных уравнений состояния с помощью уравнений Кирхгофа

1. Выбирают переменные состояния. Обычно это токи в индуктивных i_L и напряжения на емкостных u_С элементах.

2. Составляют дифференциальное уравнение для производных от переменных состояния. Применяя уравнения Кирхгофа для послекоммутационной схемы, решают их относительно производных переменных состояния di_L/dt = iL и du_C/dt = u_C в зависимости от i_L, u_С и источников энергии e_n. Уравнение состояния записывают в матричной форме:

или

3. Составляют алгебраическое уравнение для выходных (искомых) переменных. Рассматривая послекоммутационную схему, находят уравнения, связывающие выходные (искомые) переменные (токи в ветвях i_k и напряжения на элементах u_k) и переменные состояния. Полученные уравнения записывают в матричной форме:

или

Пример. Получить уравнения состояния для определения выходных переменных тока i и напряжения u₁ с помощью законов Кирхгофа в послекоммутационной схеме рис. 8.10.

Рис. 8.10

Решение. За переменные состояния примем i_L и u_С. По законам Кирхгофа для узла а и контуров I и II получим уравнения производных состояния:

Запишем эти уравнения в матричной форме:

или

Уравнения, связывающие выходные (искомые) переменные и переменные состояния (i_L и u_C), получим исходя из схемы рис. 8.10:

т. е.