§ 8.33. Составление дифференциальных уравнений состояния методом наложения

1. Выбирают переменные состояния. Как правило, это токи в индуктивных i_L и напряжения на емкостных u_С элементах.

2. В послекоммутационной схеме все индуктивные и емкостные элементы выделяют так, чтобы оставшаяся часть схемы содержала только резистивные элементы, источники э. д. с. и токов (рис. 8.11).

Рис. 8.11

Для каждого индуктивного и емкостного элементов записывают выражения для напряжения и тока

или в матричной форме

3. Записывают систему линейных алгебраических уравнений для переменных состояний i_Lk и u_Ck и внешних воздействий e и J, применяя принцип наложения:

4. В зависимости от переменных состояния и внешних воздействий составляют уравнения для выходных переменных, например для тока в какой-либо ветви i и для напряжения на заданном элементе:

5. Коэффициенты h, Н находят исходя из уравнений (8.2) и (8.3), а также схемы, рис. 8.12, полученной из послекоммутационной схемы рис. 8.11, в которой вместо индуктивных элементов включены источники тока i_Lk, а вместо емкостных - источники э. д. с. u_Ck.

Рис. 8.12

В полученной схеме поочередно оставляют один источник (остальные источники э. д. с. закорачивают, а источники тока размыкают).

В уравнениях для переменных состояния (8.2) и выходных переменных (8.3) учитывают только слагаемое, определяемое этим источником. При этом в правых частях уравнений (8.2) и (8.3) остается только по одному члену.

Схему с одним источником рассчитывают так, чтобы иметь соотношения, аналогичные соотношениям между переменными, оставшимися в уравнениях.

Коэффициенты h и Н находят путем сравнения уравнений, полученных при расчете схемы, и новых уравнений для переменных состояния и выходных переменных. После чего записывают в матричной форме:

где h - матрицы, определяющие связь между соответствующими переменными в схеме рис. 8.13.

Рис. 8.13

Сравнивая уравнения (8.1) и (8.4), получают матричное уравнение типа

7. В уравнение для выходных переменных (8.3) подставляют найденные коэффициенты и записывают его в матричной форме:

Пример. Получить уравнения переменных состояния схемы рис. 8.13 методом наложения.

Решение. В качестве переменных состояния выбираем i_L и u_С.

Выделим в схеме рис. 8.13 индуктивный и емкостный элементы.

Запишем выражения для напряжения на индуктивном и тока в емкостном элементах:

или в матричной форме:

Запишем алгебраические уравнения для i_C и u_L в общем виде:

Уравнения для выходных переменных имеют вид:

Коэффициенты в уравнениях (8.5) и (8.7) определяют, применяя метод наложения и исходя из схемы рис. 8.14 и уравнений (8.6) и (8.7).

Рис. 8.14

Таким образом, в уравнениях (8.6) и (8.7) коэффициенты определены. Уравнение (8.6) примет вид:

или

Сравнивая матричные уравнения (8.5) и (8.8), получим

Имея в виду что определим

или

Подставим в уравнение (8.7) найденные коэффициенты. Тогда

или

т. е.