§ 14.6. Определение коэффициентов аппроксимирующей функции

В этом параграфе рассматриваются методы выбранных точек и метод наименьших квадратов.

Метод выбранных точек. На нелинейной характеристике выбирают точки, через которые будет проходить аппроксимирующая кривая. Выбранные точки должны лежать в рабочей области и в характерных точках в. а. х. Число таких точек равно числу определяемых коэффициентов аппроксимирующей функции. Координаты точек подставляют в аппроксимирующее выражение. Полученную систему уравнений решают относительно искомых коэффициентов.

Данный метод является трудоемким, особенно при аппроксимации с помощью трансцендентных функций (например, y = ashβx). Он не гарантирует совпадения аппроксимирующей кривой и рассматриваемой характеристики вне выбранных точек.

Пример. Аппроксимировать нелинейную характеристику рис. 14.1 степенным полиномом y = a₀ + a₁х + a₂x² в рабочем диапазоне ab.

Рис.14.1

Решение. Выберем точки с координатами 0, 0; х_qy₁; х₂у₂. В нашем случае

Из этих уравнений находят коэффициенты a₁ и a₂.

Метод наименьших квадратов. Этот метод основан на составлении выражения для минимума отклонения среднеквадратичной ошибки от исходной кривой в выбранных точках. Коэффициенты аппроксимирующей функции выбирают так, чтобы квадратичная ошибка была минимальна, где f(x_k, abc) - аппроксимирующая функция; φ(x_n) - экспериментальная характеристика, которая аппроксимируется; х₁х₂ ... х_k - произвольно выбранные аргументы (от нуля до максимального значения) в рабочем диапазоне экспериментальной характеристики.

Системы уравнений для определения коэффициентов получают путем приравнивания к нулю частных производных от ε по всем коэффициентам:

Пример. Методом наименьших квадратов найти коэффициенты полинома y = f(x) = a₀ + a₁x + a₂x², аппроксимирующего некоторую характеристику, заданную табл. 14.1.

Таблица 14.1

Решение. Образуя частные производные от среднеквадратичной ошибки, получим систему алгебраических уравнений относительно искомых уравнений.

Выберем три точки на экспериментальной характеристике с аргументами, например, х₁, х₄ и х₆. Тогда