НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

6.2. Оптимизация весовых функций линейного режекторного фильтра

Обозначим сигнал, поступающий на вход линейного фильтра в дискретные моменты времени, как

Vвх(kТп, φ) = S (kTп, φ) + n (kTп), (6.1)

где n(t) - стационарный случайный гауссовский процесс; φ - случайный параметр сигнала. Предположим также, что принимается ограниченная последовательность импульсов (пачка из n импульсов). Сигнал на выходе фильтра определяется соотношением

(6.2)

где

un = {u1, u2, ..., un} = {x1, x2, ..., xn) + i {y1, y2, ..., yn}

комплексная весовая функция или вектор; un - комплексные числа; x и y - действительные числа.

Очевидно, что действительные и мнимые части весовой функции должны быть объединены с тем, чтобы сформировать физически реализуемую величину.

Средняя мощность на выходе фильтра

(6.3)

где "*" означает комплексно-сопряженную величину; (¯) - операцию статистического усреднения по φ или по {n(t)}. Как отмечалось выше, предполагается, что n(t) - стационарный случайный процесс в широком смысле, с нулевым средним значением и корреляционной функцией вида

n¯(t¯)n¯(t¯ + τ¯) = Pпρ(τ), (6.4)

где ρ(τ) - нормированная корреляционная функция.

С учетом сделанных замечаний соотношение (6.3) может быть записано следующим образом:

(6.5)

Очевидно, что отношение сигнал-помеха на выходе фильтра на определенной доплеровской частоте равно отношению первого слагаемого в (6.5) ко второму:

(6.6)

где

(6.7)

Отношение сигнал-помеха на входе линейного фильтра

(6.8)

Таким образом, эффективность линейного режекторного фильтра можно определить через коэффициент улучшения для заданной доплеровской частоты:

(6.9)

Здесь

(6.10)
(6.11)

Величина (Кп)n не зависит от характеристик сигнала, а для фиксированного значения n зависит только от ρ(τ) и {Un}. Коэффициент (Ks)n для фиксированного n зависит только от характеристик сигнала и от {Un}. Желательно, чтобы критерий оптимальности не зависел от характеристик сигнала. Тогда оптимальной весовой функцией, которая определяется вектором {Un}, будет функция, максимизирующая величину (Кп)n.

Основной недостаток приведенного определения заключается в том, что оптимальная весовая функция может сформировать небольшое значение коэффициента (Ks)n, что, в свою очередь, несколько снизит Ку(fд). Однако это неизбежно и является ценой за введение такого критерия оптимальности, который не зависит от характеристик сигнала.

Из (6.10) следует, что (Кп)n - обратная нормированная квадратичная форма. Ее максимальное значение равно обратному наименьшему собственному значению корреляционной матрицы

(6.12)

Это справедливо в том случае, когда {Un} является собственным вектором, соответствующим данному собственному значению [70]. Так как Rn - неотрицательно определенная матрица, то ее собственные значения являются действительными и неотрицательными числами. Определим оптимальные весовые функции для корреляционных матриц при n = 2 и 3 [70].

При n = 2 (6.13)

Собственные значения удовлетворяют уравнению

(6.14)

так что:

λ2, 1 = 1 - ρ1; λ2, 2 = 1 + ρ1, ρ > 0; (6.15)
λ2, 1 = 1 + ρ1; λ2, 2 = 1 - ρ1, ρ1 < 0. (6.16)

Элементы собственного вектора U2 должны удовлетворять уравнению

(1 - λ2, 11 + ρu2 = 0, (6.17)

поэтому

u2 = {1/√2; - 1/√2}, ρ > 0; (6.18)
u2 = {1/√2, 1/√2}, ρ < 0. (6.19)

Таким образом, при n = 2 оптимальный фильтр формирует разность от импульса к импульсу при ρ1 > 0 и сложение от импульса к импульсу при ρ1 < 0.

(6.20)

Собственные значения удовлетворяют уравнению


которое может быть записано в виде


и, следовательно, собственные значения:


Составляющие собственного вектора U3 удовлетворяют уравнениям:


так что

(6.21)

Рассмотрим теперь на простых примерах, как можно использовать полученные результаты при определении параметров линейного режекторного фильтра.

Пусть S(t, φ) = A cos (ωдt + φ), где ωд - частота Доплера; φ - случайная начальная фаза, значения которой равномерно распределены в интервале 0 - 2π.

Очевидно, что

(6.22)

и

(6.23)

если n = 2 и ρ1 > 0, оптимальная весовая функция задается (6.18). Это соответствует схеме однократной ЧПК. Коэффициент Ksnд) = 1 - cos ωдTп.

Если n = 3 и 0 ≤ ρ2 ≤ ρ1 < 1, то оптимальные веса определяются соотношением (6.21). Если ρ1 и ρ2 близки к единице, то оптимальная схема обработки соответствует схеме двухкратной ЧПК с весами 1: -2: 1, для которой


Выше отмечалось, то процедура оптимизации требует точного знания доплеровской частоты сигнала. Кроме того, рассматривалась, равномерная последовательность зондирующих импульсов. Теперь приведем решение задачи максимизации Ку с помощью оптимального выбора весовых коэффициентов для вобулированной последовательности импульсов при неизвестной доплеровской частоте.

Выражение для Куд) можно записать следующим образом:

(6.24)

Для данного частотного диапазона с граничными частотами f1 и f2

(6.25)

Отметим, что

(6.26)

Примем Δf = f2 - f1; fcp = 0,5 (f2 - f1). Тогда выражение (6.25) приведем к виду

(6.27)

И, наконец,

(6.28)

Запишем (6.28) в матричной форме, для чего определим вектор-столбец

(6.29)

а также матрицы В и R:

(6.30)

Тогда

(6.31)

Максимальное значение Ку(f1, f2) достигается при максимальном собственном значении матрицы R-1B, а максимальное собственное значение достигается, когда U является собственным вектором, соответствующим наибольшему собственному значению.

Процедура определения оптимальных весов для каждого частотного диапазона может быть представлена следующим образом:

1. Определяются ширина полосы каждого диапазона Δf = f2 - f1 и среднее значение fср = 0,5 (f1 + f2).

2. Определяются моменты появления зондирующих им пульсов tk.

3. Сопоставляется корреляционная матрица R размером n×n, элементы которой ρ(tk - tj).

4. Составляется корреляционная матрица В размером n×n, элементы которой определяются соотношением (6.30).

5. Составляется матрица произведения R1_B.

6. Определяется наибольшее собственное значение произведения матриц R-1B, а затем находится собственный вектор, соответствующий этому собственному значению. Собственный вектор является комплексным.

Указанная процедура повторяется для каждого из N частотных диапазонов. Максимальное количество частотных диапазонов задается соотношением

(6.32)

где Ti - период следования импульсов. Ширина одного частотного диапазона

(6.33)

Число и ширину частотных диапазонов необходимо определять с учетом необходимого значения коэффициента улучшения и объема аппаратурных затрат.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'