2.2. Разложение произвольного сигнала по заданной системе функций

Для теории, а также для техники формирования и обработки сигналов важное значение имеет разложение заданной функции по различным ортогональным системам функций. Напомним основные определения, относящиеся к свойствам ортогональных систем.

Бесконечная система действительных функций

(2.2)

называется ортогональной на отрезке [а, b], если

(2.3)

При этом предполагается, что

(2.4)

т. е. что никакая из функций рассматриваемой системы (2.2) не равна тождественно нулю.

Условие (2.3) выражает попарную ортогональность функций системы (2.2). Величина

(2.5)

называется нормой функций φ_n(х).

Функция φ_n(х), для которой выполняется условие

(2.6)

называется нормированной функцией, а система нормированных функций φ₁(х), φ₁(х), ..., в которой каждые две различные функции взаимно ортогональны, называется ортонормированной системой.

В математике доказывается, что если функции φ_n(х) непрерывны, то произвольная кусочно-непрерывная функция f(x), для которой выполняется условие

(2.7)

может быть представлена в виде суммы ряда

(2.8)

Интеграл в выражении (2.7) вычисляется по области определения f(х).

Умножим обе части уравнения (2.8) на φ_n(х) и проинтегрируем в пределах а, b. Все слагаемые вида при m ≠ n обращаются в нуль в силу ортогональности функций φ_m(x) и φ_n(х). В правой части остается одно слагаемое

что позволяет написать

откуда следует важное соотношение

(2.9)

Ряд (2.8), в котором коэффициенты с_n определены по формуле (2.9), называется обобщенным рядом Фурье по данной системе φ_n(x), Обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе функций φ_n(x) и при фиксированном числе слагаемых ряда (2.8) он обеспечивает наилучшую аппроксимацию (в смысле минимума среднеквадратической ошибки) данной функции f(х). Это означает, что среднеквадратическая ошибка, под которой подразумевается величина

достигает минимума, когда коэффициенты ряда а_n = с_n.

Действительно, подставив в предыдущее выражение а_n = с_n + b_n и использовав равенства (2.3), (2.5) и (2.9), получим

Отсюда следует, что М достигает минимума при b_n = 0, т. е. при а_n = с_n. Таким образом,

(2.10)

Так как величина

является квадратом нормы функции f(х), а М_мин ≥ 0, то на основании (2.10) можно написать следующее неравенство:

(2.11)

Это основное неравенство, называемое неравенством Бесселя, справедливо для любой ортогональной системы.

Ортогональная система называется полной, если увеличением числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку М можно сделать сколь угодно малой.

Условие полноты можно записать в виде соотношения

(2.12)

При выполнении этого условия можно считать, что ряд (2.8) сходится в среднем, т. е.

(2.13)

Из этого, однако, еще не следует, что сходится к f(x), т. е.

при любых значениях х. В п. 1 § 2.4 будет приведен пример, показывающий, что в отдельных точках на оси х ряд может отличаться от f(х), хотя равенство (2.13) имеет место.

Для системы функций, принимающих комплексные значения, приведенные выше определения обобщаются следующим образом:

- условие ортогональности

(2.3')

- квадрат нормы функции

(2.5')

- коэффициенты Фурье

(2.9')

В этих выражениях φ^*(х) обозначает функцию, комплексносопряженную функции φ(x).

Применительно к сигналам s(t), являющимся функциями времени, выражение (2.8) в дальнейшем будет записываться в форме

(2.14)

Соотношение (2.12) приобретает при этом энергетический смысл. Действительно, входящую в это выражение величину при замене f(х) на s(t) можно записать в форме

(2.15)

Если под s(t) подразумевается электрическое колебание (ток, напряжение), то Э есть не что иное, как энергия сигнала в промежутке t₂ - t₁ (при условии, что сопротивление, в котором выделяется энергия, равно 1 Ом).

Таким образом, в соответствии с формулой (2.12) энергия сигнала

(2.16)

а при использовании ортонормированной системы функций φ_n(t)

(2.16')

При этом имеется в виду, что промежуток времени t₂ - t₁, в котором определяется энергия Э, является интервалом ортогональности для системы функций φ_n(t).

Очевидно, что средняя за время t₂ - t₁ мощность сигнала

(2.17)

Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд. Среди разнообразных задач, требующих разложения сложного сигнала, наиболее важными являются: 1) точное разложение на простейшие ортогональные функции, 2) аппроксимация сигналов, процессов или характеристик, когда требуется свести к минимуму число членов ряда (при заданной допустимой погрешности).

При первой постановке задачи наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций - синусов и косинусов. Это объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через любую линейную цепь (с постоянными параметрами). Изменяется лишь амплитуда и фаза колебания. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи. По этим, а также и некоторым другим причинам гармонический анализ получил широкое распространение во всех отраслях современной науки и техники.

При второй постановке задачи - приближенном разложении функций - применяются разнообразные ортогональные системы функций: полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра и многие другие. Некоторые из этих систем функций будут рассмотрены в гл. 14.