3.3. Частотный спектр амплитудно-модулированного сигнала

Пусть задано высокочастотное модулированное колебание, относительно которого известно, что частота ω₀ и начальная фаза θ₀ - величины постоянные, а огибающая A(t) содержит в себе передаваемое сообщение s(t). Аналитически такое колебание можно представить с помощью выражения (3.4).

Требуется установить связь между спектром модулированного колебания и спектром модулирующей функции, т. е. спектром исходного сообщения s(t). Проще и нагляднее всего это можно сделать для тональной (гармонической) модуляции, когда огибающая

а модулированное колебание определяется выражением (3.6).

Перепишем выражение (3,6) в форме

Второе слагаемое в правой части этого выражения, являющееся продуктом модуляции, можно привести к виду

после чего развернутое выражение колебания а(t) принимает вид

Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное немодулированное колебание с частотой ω₀. Второе и третье слагаемые соответствуют новым колебаниям (гармоническим), появляющимся в процессе модуляции амплитуды. Частоты этих колебаний ω₀ + Ω и ω₀ - Ω называются верхней и нижней боковыми частотами модуляции.

Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют от амплитуды немодулированного колебания долю, равную М/2, а их фазы симметричны относительно фазы несущего колебания. Это иллюстрируется векторной диаграммой, представленной на рис. 3.4. На этой диаграмме ось времени вращается по часовой стрелке с угловой частотой ω₀, причем отсчет угла ω₀t ведется от линии ОВ Поэтому несущее колебание А₀ cos (ω₀t + θ₀) изображается на этой диаграмме в виде неподвижного вектора OD длиной A₀, составляющего с горизонталью угол θ₀. Мгновенное значение несущего колебания в момент t равно проекции вектора А₀ на ось времени (отрезок OK).

Рис. 3.4. Векторное представление амплитудно-модулированного колебания

Для представления на этой же диаграмме колебания с частотой ω₀ + Ω, превышающей угловую частоту вращения оси времени на величину Ω, необходимо воспользоваться вектором, вращающимся с угловой частотой Ω против часовой стрелки (вектор DС₁). Для изображения колебания с частотой ω₀ - Ω потребуется вектор, вращающийся с такой же частотой Ω по часовой стрелке (вектор DC₂). Поэтому колебания боковых частот - верхней и нижней - изображаются двумя векторами длиной MA₀/2, вращающимися во взаимно противоположных направлениях. Фазировка этих векторов симметрична относительно вектора несущего колебания A₀. Это следует из выражения (3.8), которое для большей наглядности целесообразно записать в несколько видоизмененной форме

Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе огибающей γ векторы DC₁ и DC₂, соответствующие колебаниям верхней и нижней боковых частот, занимают симметричное относительно вектора OD положение, причем векторы колебаний боковых частот образуют с вектором несущего колебания углы, равные ± (Ωt + γ). На рис. 3.4 начала этих векторов перенесены из точки О в точку D. Равнодействующий вектор DF, являющийся геометрической суммой векторов DC₁ и DC₂ и называемый вектором модуляции, всегда располагается на линии OD, вследствие чего сумму всех трех колебаний - несущей и двух боковых частот - можно рассматривать как колебание с постоянными начальной фазой и частотой, но с модулированной амплитудой.

Попутно заметим, что если в результате прохождения через электрические цепи нарушается равенство амплитуд колебаний боковых частот или симметрия их фаз относительно фазы несущего колебания, то возникает качание вектора, представляющего результирующее колебание, относительно направления OD. Это равносильно возникновению паразитной фазовой модуляции.

Остановимся на вопросе о фазе огибающей амплитуд при чисто амплитудной модуляции. Допустим, что начальная фаза высокочастотного колебания θ₀ = 90°. Тогда векторная диаграмма примет вид, показанный на рис. 3.5. Если при Ωt = 0 векторы боковых частот DC₁ и DC₂ направлены вверх (положение I на рис. 3.6), то огибающая амплитуд проходит в этот момент через свое максимальное значение А₀ (1 + М). Этот случай соответствует начальной фазе огибающей γ = 0 ([см. (3.6)], а уравнение огибающей будет

Рис. 3.5. Векторная диаграмма амплитудной модуляции при начальной фазе несущего колебания θ₀ = 90°

Рис. 3.6. Фазировка колебаний частот в различные моменты времени

Если же В момент Ωt = 0 векторы DC₁ и DC₂ занимают горизонтальное положение, то равнодействующая проходит через значение, равное А₀. В этом случае начальная фаза огибающей γ = -π/2, и уравнение для огибающей будет

Положение векторов боковых частот DC₁ и DC₂ при Ωt = π/2, π и 3π/2 для γ = 0 обозначено на рис. 3.6 соответственно цифрами II, III и IV.

Спектральная диаграмма колебания при тональной модуляции показана на рис. 3.7. Ширина спектра в этом случае равна удвоенной частоте модуляции 2Ω, а амплитуды колебаний боковых частот не могут превышать половины амплитуды немодулированного колебания (при М ≤ 1).

Рис. 3.7. Спектр колебания при тональной (гармонической) АМ

Аналогичные результаты можно получить при модуляции любым сложным сигналом. Картину образования спектра амплитудно-модулированного колебания проще всего пояснить сначала на примере, когда модулирующее сообщение s(t) является суммой колебаний двух тонов:

По аналогии с выражением (3.5) получаем

Подставляя это выражение в уравнение (3.4) и используя тригонометрические преобразования, аналогичные тем, которые были проведены при получении уравнения (3.8), придем к следующему результату (начальная фаза несущего и модулирующих колебаний здесь для упрощения опущены);

Из полученного выражения следует, что каждая из частот Ω₁ и Ω₂ образует свою тональную модуляцию, сопровождающуюся возникновением пары боковых частот, причем этот процесс является линейным в том смысле, что амплитуды и фазы боковых частот от различных модулирующих напряжений взаимно независимы (последнее свойство сохраняется при условии, что суммарное изменение огибающей "вниз" не превышает 100%).

Из приведенного примера нетрудно вывести правило построения спектральной диаграммы амплитудно-модулированного колебания а(t) по заданному спектру модулирующей функции s(t). Пусть последний имеет вид, представленный на рис. 3.8, а. Через S₁, S₂, ..., S_n, ... обозначены амплитуды гармонических колебаний, входящих в спектр сообщения s(t), а через Ω_мин и Ω_макс - граничные частоты спектра.

Рис. 3.8. Дискретные спектры: а - сложной модулирующей функции; б - модулированного по амплитуде колебания

Спектральная диаграмма высокочастотного колебания, промодулированного по амплитуде сообщением s(t), изображена на рис. 3.8, б. Коэффициенты модуляции M₁, М₂, ..., М_n пропорциональны амплитудам S₁, S₂, ..., S_n соответствующих тонов, входящих в сложное сообщение s(t).

Перейдем к общему случаю, когда спектр сообщения s(t) не обязательно дискретный. Будем исходить из общего выражения (3.4). Передаваемое сообщение s(t) содержится в законе изменения огибающей А(t). Не предрешая вида функции s(t), составим выражение для спектральной плотности S_a(ω) высокочастотного колебания а(t), рассматриваемого как произведение огибающей А(t) на гармоническое колебание cos (ω₀t + θ₀).

Основываясь на соотношении (2.58), в котором положим s(t) = А(t), получаем

В этом выражении S_A обозначает спектральную плотность огибающей, т. е. модулирующей функции.

Следует подчеркнуть, что спектр медленно меняющейся функции времени А(t) группируется в области относительно низких частот. Поэтому функция S_A(ω - ω₀) существенно отличается от нуля лишь при частотах ω, близких к ω₀, т. е. когда разность ω - ω₀ = Ω относительно мала. Аналогично слагаемое S_A(ω + ω₀) существует при частотах, близких к - ω₀.

Таким образом, спектральная плотность модулированного колебания S_a(ω) образует два всплеска: вблизи ω = ω₀ и вблизи ω = - ω₀. Поэтому для узкополосного сигнала можно считать, что в области положительных частот

а в области отрицательных частот

Поясним правило построения спектра S_a(ω) на следующем примере. Пусть огибающая высокочастотного колебания имеет вид

где s(t) - передаваемое сообщение, имеющее спектральную плотность S(Ω), а коэффициент k_ам имеет тот же смысл, что и в выражении (3.5).

Спектральная плотность огибающей А(t) изображена на рис. 3.9, а. Дискретная часть этого спектра, равная 2πА₀δ(Ω), соответствует постоянной величине А₀, а сплошная часть k_амА₀S(Ω) передаваемому сообщению s(t).

Рис. 3.9. Спектральные плотности: а - модулирующего импульса; б - АМ колебания

Спектральная плотность S_a(ω) модулированного колебания а(t) показана на рис. 3.9, б. В данном случае дискретные составляющие отображают несущее колебание А₀ cos (ω₀t + θ₀), а сплошной спектр - колебания боковых частот модуляции.

Если радиосигнал не содержит несущего колебания (с конечной амплитудой), например, при передаче одиночного радиоимпульса, дискретная часть в спектре отсутствует.

Рассмотрим спектр радиоимпульса прямоугольной формы (рис. 3.10, б), определяемого выражением

Рис. 3.10. Импульс прямоугольной формы (а) и тот же импульс с высокочастотным заполнением ω₀ (б)

В данном примере под сообщением s(t) следует подразумевать видеоимпульс (рис. 3.10, а). Спектральная плотность подобного сообщения [см. (2.68)]

Следовательно, огибающая амплитуд колебания a(t)

а спектральная плотность этой огибающей

Так как в данном случае θ₀ = 0 (рис. 3.10, б), то по формуле (3.9)

Графики спектральных плотностей модулирующей функции s(t) и радиоимпульса а(t) изображены на рис. 3.11, а и б.

Рис. 3.11. спектральные плотности функций, представленных на рис. 3.10