НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

4.8. Колебание, модулированное по фазе случайным процессом. Плотность вероятности

Модулированное колебание представим в форме


Как и в предыдущем параграфе, зададим нормальное вероятностное распределение модулирующей функции s(t) [см. (4.84)].

При линейной характеристике фазового модулятора с крутизной kфм [рад/В] мгновенное значение фазы определяется выражением


а плотность вероятности случайной величины θ выражением


где


можно рассматривать как среднеквадратическое значение индекса угловой модуляции.

Заметим, что при гармонической модуляции фазы по закону θ(t) = m sin Ωt, очевидно,


При определении плотности вероятности функции а(t) следует различать два случая: а) детерминированная начальная фаза θ0; б) случайная начальная фаза θ0.

Остановимся на рассмотрении первого случая. При измерении напряжения а(t) в какой-либо фиксированной момент времени t1 значение а(t) отличается от детерминированного значения A0 cos (ω0t + θ0) только из-за наличия случайного фазового сдвига θ, обусловленного модуляцией. Задание плотности вероятности θ позволяет найти плотность вероятности а с помощью рассуждений, использованных при выводе формулы (4.25). Отличие заключается лишь в том, что в рассматриваемой задаче величина θ не ограничена интервалом (-π, π) и, кроме того, неравновероятна в любом интервале.

При подсчете вероятности пребывания а(t) в заданном интервале (а, а + da) следует учитывать все фазовые интервалы, в которых плотность вероятности р(θ) отлична от нуля. Так, например, если начальная фаза θ0 = 0, расположение этих интервалов соответствует указанному на рис. 4.21. В этом частном случае плотность вероятности р(а) (по аналогии с (4.25) и с учетом (4.96)) принимает следующий вид:


В этом выражении θ1 = arccos (а/А0), причем 0 ≤ |θ1| ≤ π. Число существенных слагаемых в (4.99) зависит от среднеквадратического значения индекса угловой модуляции σθ. При относительно малых значениях σθ, не превышающих 1-2 рад, можно ограничиться первым слагаемым. Графики р(а) при нескольких значениях σθ представлены на рис. 4.22.

Рис. 4.21. К определению плотности вероятности высокочастотного колебания при модуляции фазы случайным процессом
Рис. 4.21. К определению плотности вероятности высокочастотного колебания при модуляции фазы случайным процессом

Рис. 4.22. Плотность вероятности высокочастотного колебания при модуляции фазы случайным процессом
Рис. 4.22. Плотность вероятности высокочастотного колебания при модуляции фазы случайным процессом

Видно, что при σθ → 0 распределение приближается к р(а) → δ(а - А0), что соответствует 100%-ной вероятности амплитудного значения а(t) в момент t = 0. При относительно больших значениях σθ (свыше 3 рад) распределение случайной величины а мало отличается от распределения, соответствующего гармоническому колебанию с равновероятной в интервале (0, 2π) фазой. График р(а) в этом случае почти совпадаете графиком, построенным по формуле (4.25) (штриховая кривая).

Существенно иная картина получается в случае, когда начальная фаза колебания θ0 (в отсутствие модуляции) равна π/2. Соотношение между интервалами значений а(t), соответствующими им фазовыми интервалами и плотностью вероятности р(θ) представлено на рис. 4.23, При θ0 = π/2 формула, аналогичная (4.99), принимает вид


Рис. 4.23. То же, что на рис. 4.21, но при иной начальной фазе несущего колебания
Рис. 4.23. То же, что на рис. 4.21, но при иной начальной фазе несущего колебания

Графики р(а) при нескольких значениях σθ представлены на рис. 4.24.

Рис. 4.24. То же, что на рис. 4.22, но при иной начальной фазе несущего колебания
Рис. 4.24. То же, что на рис. 4.22, но при иной начальной фазе несущего колебания

При малых значениях σθ распределение a(t) приближается к нормальному, а при больших - к распределению (4.25).

Из сопоставления двух характерных режимов θ0 = 0 и θ0 = π/2 видно, что плотность вероятности р(а) зависит от начальной фазы или, что то же, от момента отсчета t1. Таким образом, при детерминированной начальной фазе θ0 a(t) является нестационарным процессом. Можно, однако, отметить, что с увеличением σθ влияние θ0 на р(а) ослабевает. При достаточно больших σθ процесс приближается к стационарному.

Закон распределения а(t) при фазовой модуляции и случайной начальной фазе θ0 здесь не рассматривается. Отметим лишь, что при достаточно медленной модуляции, отвечающей условию (3.3), т. е. когда колебание а(t) сохраняет форму, близкую к гармоническому колебанию, плотность вероятности р(а) совпадает с (4.25).

Корреляционная функция и энергетический спектр при угловой модуляции случайным процессом здесь не рассматриваются (см. [6]).

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'