НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ







Современная терраса: материалы и оборудование

предыдущая главасодержаниеследующая глава

3.5. Уравнения состояния. Марковские модели каналов связи

Рассмотрим другой подход к построению математических моделей каналов. Выше соотношения между входным и выходным сигналами задавались интегральными преобразованиями (например, интегралом Дюамеля). При этом для нахождения выходного сигнала требуется знать помимо характеристик цепи (канала) также входной сигнал, действовавший на нее на всем промежутке его существования, до текущего момента t.

Во многих случаях более гибким является такое описание, при котором вся предыстория до некоторого фиксированного момента времени t0 заменяется заданием некоторого начального состояния цепи. Зная характеристики цепи, начальное состояние и сигнал, действующий только на промежутке от t0 до t1 можно последовательно определить как сигнал на выходе, так и новое состояние цепи в любой момент времени t>t0.

Подобный подход известен из теории дифференциальных уравнений, в которой искомая функция определяется как самим уравнением, так и определенными начальными условиями, число которых равно порядку уравнения. Излагаемый в данном параграфе метод переменных состояния иллюстрируется на примерах цепей, описываемых с помощью линейных дифференциальных уравнений.

Множество величин, однозначно определяющих поведение цепи в некоторый момент t, содержащее минимальное число элементов n, называют состоянием, а сами элементы этого множества - переменными состояния. Каждую из этих переменных обычно рассматривают как составляющую n-мерного вектора состояний. Для любой заданной цепи можно составить два уравнения, позволяющих по состоянию в момент t0 и сигналу, поступающему на вход, найти состояние в момент t>t0 и выходной сигнал. Первое из них называется уравнением состояния, а второе - уравнением наблюдения.

Для иллюстрации основных положений метода переменных состояния рассмотрим простой пример - линейную RLC-цепь (рис. 3.9), в которой выходное напряжение y(t) связано с входным напряжением u(t) дифференциальным уравнением

d2y (t)/dt2 + 2a dy (t)/dt + ω20y(t) = 0) = ω20u(t), (3.49)

где 2α = R/L; ω0 = 1/(LC). Ток в цепи

i(t) = Cdy(t)/dt. (3.50)

Состояние этой цепи в любой момент времени t0 характеризуется двумя параметрами: i(t0)-током, протекающим через индуктивность L, и y(t0)-падением напряжения на емкости С. Значения i(t0), y(t0) содержат достаточную информацию о предыстории цепи, связанной с прошлыми воздействиями u(t), t≤t0, которая необходима для определения будущих значений выходного процесса y(t), t>t0 при заданных воздействиях u(t), t≥t0. Таким образом, dy(t)/dt и y(t) можно интерпретировать как переменные состояния, а дифференциальное уравнение (3.49) - как уравнение состояния, которое обычно приводят к форме векторного дифференциального уравнения первого порядка. При замене переменных

x1 (t) = y(t), x2(t) = dy (t)/dt (3.51), (3.52)

уравнение (3.49) эквивалентно системе дифференциальных уравнений первого порядка:


которая с учетом правил векторно-матричных преобразований допускает компактное представление


где


Рис. 3.9. Последовательный колебательный контур
Рис. 3.9. Последовательный колебательный контур

Рис. 3.10. Моделирование уравнений состояния линейной системы 2-го порядка (последовательного колебательного контура)
Рис. 3.10. Моделирование уравнений состояния линейной системы 2-го порядка (последовательного колебательного контура)

При этом уравнение наблюдения имеет вид (3.51), или в векторной форме

y (t) = Нх (t) = (1, 0)х(t). (3.57)

Заметим, что выбранный вектор состояния х(t) не является единственно возможным. Любое обратимое линейное преобразование вектора х(t) приводит к другому вектору состояний.

Важной особенностью метода переменных состояний является возможность непосредственного моделирования систем, описываемых уравнениями состояния, с помощью аналогового или цифрового вычислительного устройства. На рис. ЗЛО показана модель системы уравнений (3.53) -(3.54). При построении такой схемы удобно рассуждать следующим образом. Пусть в некоторых точках присутствуют входной сигнал u(t) и переменные состояния x1(t) и x2(t). Соединим эти точки сумматорами, усилителями и интеграторами так, чтобы соотношения между ними соответствовали уравнениям (3.53), (3.54). Из первого уравнения следует, что, подав на вход интегратора х2 (t), получим с точностью до постоянной x1(t). Эта постоянная определяется начальным условием и равна x1(t0). Затем осуществляют операции, записанные в правой части второго уравнения, умножив u(t) и x1(t) на ω20, а х2(t) на 2α (с помощью усилителей с соответствующими коэффициентами усиления) и сложив полученные результаты с учетом знаков. Проинтегрировав полученную сумму и прибавив к ней постоянную x2(t0) (начальное условие), получим x2(t). Таким образом, все точки в схеме соединились в соответствии с уравнениями (3.53) и (3.54).

Если на такую схему-модель подать входной сигнал u(t), то на выходе получится выходной сигнал y(t). Однако это не представляет большого интереса, поскольку то же самое можно сделать без моделирования, исследуя экспериментально исходную цепь (в данном случае рис. 3.9). Значительно важнее то, что с помощью модели можно решить обратную задачу - по выходному (наблюдаемому) сигналу найти входной.

В более общем случае аналогичные матричные уравнения в форме (3.55) и (3.57) можно построить для цепей более высокого порядка, в том числе нелинейных и с переменными параметрами. Отличие будет лишь в размерности матриц и в том, что они могут быть функциями времени (для цепей с переменными параметрами) и состояния (для нелинейных цепей). Если на цепь воздействует несколько входных и несколько выходных сигналов, то их также рассматривают как компоненты вектор-функций u(t) и y(t). В самом общем случае уравнения состояния и наблюдения процесса принимают в векторной форме следующий вид:


Каждое из матричных уравнений представляет, в сущности, систему дифференциальных уравнений, число которых для уравнений состояния равно количеству переменных-состояния (порядку цепи), а для уравнений наблюдения - количеству выходов цепи*.

* (Описание систем с дискретным временем в основном аналогично описанию систем с непрерывным временем; при этом дифференциальное уравнение состояний сводится к уравнению в конечных разностях.)

Отметим еще простейший случай линейной цепи 1-го порядка, например интегрирующей RC-цепи (рис. 3.11,а). В этом случае уравнение состояния (3.55) и наблюдения (3.57) оказываются скалярными, а в качестве единственной переменной состояния x(t) удобно принять напряжение на конденсаторе, которое совпадает с выходным сигналом y(t). Уравнения имеют вид

dx/dt = - (1/RC)x(t) + (1/RC)u(t), y(t) = x(t), (3.60)

что совпадает с (3.55) и (3.57) при F = -(1/RС), G = (1/RC); Н = 1. Соответствующая модель дана на рис. 3.11,6.

Одно из приложений метода переменных состояния связано с возможностью конструктивного описания случайных процессов. Оно состоит в том, что случайный процесс Y с заданными вероятностными характеристиками представляются как выход некоторой динамической системы, возбуждаемой другим случайным процессом с более простой вероятностной структурой U (t). Обычно в качестве порождающего используют гауссовский процесс U (t) типа белого шума с нулевым средним и корреляционной функцией

ВU(t, t+τ) = M{U(t)U'(t+τ)} = Qδ(t), (3.61)

где Q - симметричная, неотрицательно определенная матрица, а штрих обозначает транспонирование. Пусть случайный процесс U(t), удовлетворяющий (3.61), воздействует на схему, описываемую (3.58) и (3.59), где функции F(t), Н(t), G(t) удовлетворяют условиям непрерывности и ограниченности. Тогда процессы Х(t), а также {Х(t), Y(t)} являются марковскими, переходные плотности вероятностей которых w (х, t |х0, t0) и w(x, y, t |х0, y0, t0) подчинены соответствующим дифференциальным уравнениям в частных производных Колмогорова - Фокера - Планка (2.30) (см. § 2.1). Если гауссовский порождающий процесс U (t) воздействует на линейную цепь, то и выходной процесс Y (t) будет гауссовским. Он будет также стационарным, если формирующая система является линейной с постоянными параметрами. Распределение вероятностей процесса Y(t) будет не гауссовским, если он сформирован нелинейной системой.

Рис. 3.11. Цепь RC (а); модель уравнений состояния цепи RC (б)
Рис. 3.11. Цепь RC (а); модель уравнений состояния цепи RC (б)

В частности, если на вход цепи рис. 3.11 поступает нормальный: белый шум, то выходным процессом будет марковский гауссовский процесс с нормированной корреляционной функцией (2.31).

Метод переменных состояния с успехом применяют и для описания стохастических цепей (каналов) со случайно изменяющимися параметрами. Для этого некоторые элементы системных функций (матриц) F, G, Н следует рассматривать как случайные функции. Кроме того, в уравнении наблюдения следует учитывать компоненту аддитивных помех.

Метод переменных состояний дает универсальный (подход для моделирования (в рамках весьма широкой марковской модели) каналов передачи информации (систем связи) для самых различных сообщений, способов кодирования и модуляции (как линейной, так и нелинейной), линий связи с детерминированными " случайными параметрами, рассеянием сигналов, аддитивными шумами (как гауссовскими, так и не гауссовскими). Более существенно то обстоятельство, что, представляя наблюдаемые (анализируемые в месте приема) случайные марковские процессы с помощью дифференциальных уравнений, как уже отмечают, можно решить обратную задачу, т. е. получить дифференциальные уравнения для оценки сообщений, заключенных в этих процессах. Такие оценки с помощью аналоговой или цифровой техники значительно проще, чем оценки, вытекающие из интегральных уравнений. Это будет показано в § 7.7 и 7.8 при рассмотрении фильтрации сигналов на фоне шумов.

Вопросы к главе 3

  1. Какой канал называют дискретным, дискретно-непрерывным и непрерывным?
  2. Приведите пример входа и выхода дискретного канала в телеграфной системе связи и входа-выхода непрерывного канала для той же системы связи.
  3. Какие два типа задач в основном решаются при рассмотрении прохождения случайных воздействий через канал связи и его звенья?
  4. Как связаны отклик и воздействие в произвольной линейной системе через импульсную переходную характеристику G(t, τ)?
  5. *Рассмотрите канал с переменной задержкой τ, в частности полагая, что τ линейно возрастает со временем: τ = αt, где α - коэффициент пропорциональности. Пусть в (3.1) X(t) = А cos ω0t - гармонический входной сигнал. Найдите выходной сигнал Y(t), полагая τ = αt. Как называется такое явление?
  6. Поясните связь энергетических спектров стационарных процессов на входе и выходе линейной детерминированной системы с постоянными параметрами.
  7. * Объясните нормализацию отклика линейной системы при воздействии произвольного случайного процесса, ширина спектра которого намного превышает полосу пропускания системы.
  8. Поясните целесообразность использования низкочастотных эквивалентов .для описания узкополосных сигналов и каналов.
  9. * Поясните связь спектра Фурье вещественного узкополосного сигнала и его комплексной огибающей.
  10. * Поясните связь передаточных функций полосового фильтра и его низкочастотного эквивалента.
  11. * Поясните связь комплексных огибающих узкополосных сигналов на входе и выходе полосового фильтра и их спектров с характеристиками низкочастотных эквивалентов фильтра.
  12. Поясните характер энергетического спектра на выходе безынерционной нелинейной системы, на вход которой подается смесь узкополосного сигнала и флуктуационного шума.
  13. * Как определяется математическое ожидание и корреляционная функция процесса на выходе безынерционной нелинейной системы?
  14. Объясните физическую природу происхождения флуктуационных, сосредоточенных по частоте (квазигармонических) и во времени (импульсных) помех в каналах связи.
  15. * При каких условиях говорят о канале с межсимвольной интерференцией (МСИ)? Каковы причины возникновения МСИ в проводных и радиоканалах?
  16. Как определяется модель симметричного дискретного канала без памяти со стиранием и без стирания?
  17. Как определяется модель дискретного канала с аддитивным дискретным шумом?
  18. * В некотором двоичном канале вероятность перехода нуля в 1 меньше вероятности перехода 1 в нуль. Эти вероятности не зависят от ранее передававшихся и принимавшихся сигналов. Можно ли такой канал считать каналом без памяти?
  19. * Приведите пример дискретного канала с аддитивным шумом и памятью.
  20. * В чем заключается идея метода переменных состояния для описания поведения системы (цепи, канала, линий связи и т. п.)?
  21. * Напишите уравнения состояния и наблюдения для детерминированной нелинейно-параметрической (в общем случае) цепи (канала) с множеством входов и выходов в матричном виде.
  22. * Как можно моделировать систему, описываемую уравнением состояния и наблюдения, с помощью аналогового или цифрового вычислительного устройства?
  23. * Как можно на основе метода переменных состояний конструктивно моделировать случайные процессы (сигналы, каналы)? Каким уравнением описываются при этом гауссовские и не гауссовские процессы?
предыдущая главасодержаниеследующая глава







© RATELI.RU, 2010-2020
При использовании материалов сайта активной гиперссылки обязательна:
http://rateli.ru/ 'Радиотехника'


Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь