6.6. Прием сигналов с неопределенной фазой (некогерентный прием)

Как показано в § 3.4, многие каналы можно описать моделью (3.30) с флуктуирующей фазой. Естественно, если фаза (или какой-либо другой параметр) принимаемого сигнала флуктуирует настолько медленно, что путем измерения (оценки) ее можно достаточно надежно предсказать, оптимальный прием в основном реализуется так же, как при точно известном сигнале (с добавлением блоков оценки). Такая ситуация характерна для многих каналов проводной и, реже, радиосвязи. Однако нередко фаза флуктуирует довольно быстро, и точную ее оценку получить не удается. Кроме того, оценка фазы требует иногда применения сложных устройств. Поэтому даже в тех случаях, когда принципиально можно оценить начальную фазу приходящего сигнала, порой от этого отказываются и используют алгоритм, построенный в предположении, что начальная фаза приходящего сигнала неизвестна и может принимать любое значение на интервале 0-2я. Такой метод приема называется не когерентным.

Для вывода правила оптимального не когерентного приема будем исходить из отношения правдоподобия Λ_i для сигнала s_i(t), которое при точно известной начальной фазе выражается формулой (6.23). Используя представление для сигнала (3.40), где k - известный коэффициент передачи канала, а θ_К - случайный сдвиг в канале, формулу (6.23) можно записать так:

Здесь In Λ_i, является случайной величиной, принимающей различные значения при различных θ_К. Правило максимума правдоподобия в такой ситуации заключается в выборе такого решения, для которого математическое ожидание Λ_i будет наибольшим. Такое правило, если сдвиг фазы θ_К равномерно распределен на интервале (0-2π), кратко записывается так:

где w(θ_К) = 1/2π при 0≤θ≤2π - плотность распределения вероятности θ_К.

При нахождении Λ̄_i, заметим, что второй интеграл в правой части (6.61) от 0к не зависит и равен энергии E_ni сигнала u_i(t) на входе канала (на передатчике). Это ясно из того, что подынтегральной функцией является квадрат сигнала u_i(t), сдвинутого по фазе на 0К, что, как известно, не влияет на его энергию. Таким образом, учитывая, что k²E_ni/N = h²_i, получим

где

Обозначив

можно записать

где

- модифицированная функция Бесселя (2.84).

Вместо того чтобы сравнивать отношения правдоподобия Λ̄_i, можно сравнить их логарифмы, что приводит к следующему правилу (алгоритму):

Для двоичной системы сигналов правило оптимального некогерентного приема выражается неравенством:

Рис. 6.14. Квадратурная схема реализации оптимального приема дискретных сообщений при неопределенной фазе сигнала

При выполнении этого неравенства регистрируется 1, в противном случае - 0. Величины y_i и ỹ_i можно получить в момент отсчета Т на выходе активного фильтра с опорными сигналами, равными соответственно u_i(t) и ũ_i(t). С учетом сказанного понятно построение на основе активных фильтров схемы, называемой квадратурной и реализующей алгоритм (6.69) (рис. 6.14). Здесь Γ₀, Γ₁ - соответственно генераторы опорных сигналов u₀(t), u₁(t); 90° - фазовращатель всех сигнальных компонент на 90° (преобразователь Гильберта); БОМ - блок определения модуля вектора V_i = |y_i + iỹ_i| по ортогональным компонентам; НУ - нелинейные безынерционные устройства с характеристикой

Подчеркнем, что величины V_i не зависят от начальной фазы сигналов u_i(t) и, как видно из (6.65), пропорциональны огибающей (в моменты отсчета, кратные Т) на выходе фильтра, согласованного с сигналом u_i(t). Таким образом, алгоритм (6.73) можно реализовать и на базе согласованных фильтров, как показано на рис. 6.15. Идеальный детектор Д выделяет огибающую напряжения на выходе согласованного фильтра.

Для двоичной системы с пассивной паузой, полагая, что символ 0 передается сигналом u₀(t) = 0, правило (6.69) можно записать в виде

где пороговый уровень

а функция x = f(y) обратна функции y = ln I₀(х). При выполнении неравенства (6.71) (превышения V₁ над порогом) регистрируется символ 1, в противном случае - символ 0.

Алгоритм (6.68) и соответственно его реализация существенно упрощаются для систем с активной паузой (E_i = E). Для них с учетом монотонного характера функции In I₀(х) алгоритм оптимального не когерентного приема можно записать так:

V_i>V_j, j ≠ i

или

Для двоичной системы правило (6.72) сводится к проверке одного неравенства

При его выполнении регистрируется символ 1, в противном случае - 0.

При реализации алгоритма (6.73) в схемах рис. 6.14 и 6.15 не нужны блоки НУ и блоки вычитания. Более того, алгоритм при этом условии инвариантен относительно коэффициента передачи k и спектральной плотности шума N₀, поскольку V_i не зависит от N₀, а с изменением k все значения V_i изменяются пропорционально, что не влияет на (6.72). Именно это является основным преимуществом систем с активной паузой, определившим их широкое применение.

Рис. 6.15. Схема реализации оптимального приема дискретных сообщений на базе согласованных фильтров при неопределенной фазе сигнала

При выводе правила решения (6.68) предполагалось, что случайная начальная фаза распределена равномерно на интервале (0 - 2π). Однако в некоторых случаях распределение начальной фазы неравномерно, а еще чаще это распределение при построении системы связи неизвестно. В этих условиях возможны два подхода: а) построение адаптивной квазикогерентной системы, в которой путем анализа принимаемого сигнала определяется приближенная оценка фазы, используемая вместо недостающих априорных сведений, и б) принятие решения в предположении, что начальная фаза представляет собой некоторый неизвестный параметр, который так же, как и передаваемый символ, можно оценить по максимуму правдоподобия. Второй подход называют приемом по правилу обобщенного максимального правдоподобия.

Сущность этого правила заключается в следующем. Отношение правдоподобия для сигнала u_i(t) при известном сдвиге фазы θ_К в канале записано в формуле (6.61). Найдем для данного i то значение θ_К, которое обеспечивает максимум отношения правдоподобия

(или его логарифма), а затем сравним полученные значения для всех i и выберем из них наибольшее. Таким образом, приходим к правилу обобщенного максимального правдоподобия

Для отыскания максимума (6.61) по θ_К учтем, что, как уже говорилось, второй интеграл от θ_К не зависит. Максимум же первого интеграла найдем обычным способом, продифференцировав его по параметру θ_К и приравняв производную нулю. Это приводит к уравнению y₁ sin θ_К + ỹ_i cos θ_К = 0, где y_i и ỹ_i определены формулами (6.64). Решая это уравнение, тол учим максимально

правдоподобное значение θ_К = arctg(-ỹ_i/y_i), откуда

Подставив эти значения (конечно, различные для разных гипотез) в (6.61), после простых преобразований получим алгоритм приема по правилу обобщенного максимального правдоподобия [18]:

Для систем с активной паузой (E_i = E = const) это правило совпадает с

(6.72), а для двоичных систем с (6.73). В этом случае алгоритм, полученный при неизвестной фазе, оцениваемый по максимуму правдоподобия, совпадает с алгоритмом, полученным в предположении, что фаза распределена равномерно.

Заметим попутно, что одной из актуальных проблем теории связи является отыскание алгоритмов решения для демодулятора, применимых при недостаточной априорной информации о канале и об источнике сообщения, например, об априорных вероятностях различных сигналов, о распределениях вероятностей амплитуд и фаз, о некоторых параметрах, входящих в описание сигнала и т. д. В этом направлении сделано уже очень много [11]. Конечно, чем больше объем априорной информации, тем достовернее можно принимать сообщение, например, применяя когерентный прием. Однако если сама априорная информация ненадежна, то, применяя алгоритм, учитывающий эту ненадежную информацию, можно получить результат хуже, чем при использовании алгоритма, построенного в предположении отсутствия данной априорной информации.

Исследование вероятности ошибок в канале с неопределенной фазой и аддитивным гауссовским шумом при поэлементном приеме показало, что минимальную вероятность ошибки обеспечивает система с активной паузой, у которой сигналы удовлетворяют условиям ортогональности в усиленном смысле (см. § 2.6):

Определим вероятность ошибки при приеме по алгоритму (6.73) двоичных сигналов, удовлетворяющих условиям (6.75). Если передается символ 1, то с учетом (6.17), (6.64) и (6.65) имеем:

Рассуждая так же, как при выводе (6.46) и (6.47), легко убедиться, что величины ξ_j, ξ̃_j распределены нормально с нулевым средним значением и дисперсией 0,5N₀E.

Легко также показать, что коэффициенты корреляции

и

при системе сигналов, ортогональной в усиленном смысле, равны нулю. Не коррелированность гауссовских величин обеспечивает и их независимость. Как следствие, случайные величины V₁ и V₀ независимы, причем V₀ в соответствии с (2.76) имеет распределения Рэлея

V₁ в соответствии с (2.86) имеет обобщенное распределение Рэлея

Вероятность приема символа 0 при передаче символа 1 определится вероятностью выполнения неравенства V₀>V₁:

В полученной формуле интеграл легко вычислить с помощью теории вероятностей. Если заменить переменную, положив а = 2V₁, то окажется, что это интеграл от плотности вероятностей (2.86) случайной величины 0, имеющей обобщенное распределение Рэлея, с параметрами u = Е и σ² = N₀E. Так как интеграл берется по всей области определения А, то он равен 1. Окончательно

где, как и раньше, h² = E/N₀ - отношение энергии элемента принимаемого сигнала к спектральной плотности мощности шума.

Из соображений симметрии ясно, что такова же будет вероятность приема символа 1 при передаче 0. Поэтому вероятность - ошибки не зависит от передаваемого символа. Она одинакова для всех двоичных систем, ортогональных в усиленном смысле (при одинаковых энергиях сигнала), и определяется (6.82). В частности, эта формула справедлива для систем: ЧМ, с временной манипуляцией и любых других, для которых выполняется (6.75).

На рис. 6.16 показана зависимость p(h²) согласно (6.82)(кривая 2). Там же для сравнения приведена кривая, характеризующая потенциальную помехоустойчивость той же системы при когерентном приеме, определяемая (6.57) (кривая 1)^*. Величина h² для удобства выражена в децибелах, а вероятности ошибок отложены в логарифмическом масштабе.

^* (Об остальных кривых на этом рисунке будет сказано ниже.)

Рис. 6.16. Зависимости вероятности ошибки в двоичной системе, ортогональной в усиленном смысле, с активной паузой (например, ЧМ) от h² при оптимальном приеме и различных параметрах канала: 1 - канал с постоянными параметрами (когерентный прием); 2 - канал с неопределенной фазой без замираний (некогерентчый прием); 3 - обобщенные рэлеевские замирания; 4 - рэлеевские замирания; 5 - односторонне-нормальные замирания. Аддитивный шум во всех случаях белый

Сравнение кривых показывает, что для рассматриваемой системы связи (с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле) априорное знание фазы и когерентный прием дают лишь очень небольшой энергетический выигрыш по сравнению со случаем не- когерентного приема. Этот выигрыш тем меньше, чем ниже допустимая вероятность ошибки.

Систему ФМ, так же как и другие системы с противоположными сигналами, отличающимися сдвигом фаз на я, при некогерентном приеме применять нельзя, так как при неизвестной начальной фазе такие сигналы неразличимы. Однако, если сдвиг фазы в канале изменяется достаточно медленно, то разности фаз между соседними элементами практически сохраняются и могут быть измерены в приемнике. Поэтому вполне возможен не когерентный примем при ОФМ.

Поскольку при ОФМ информационный параметр сигнала определяется двумя -соседними элементами [(n-1)-м на интервале -T÷0 и n-м на интервале (0÷T], то оптимальный алгоритм (6.73) можно записать в виде

Приходящий сигнал s(t) на двух тактовых интервалах при ОФМ можно представить в зависимости от символа, передаваемого n-м элементом, так:

где ψ - случайная начальная фаза, неизвестная при приеме, зависящая, в частности, от символа, передававшегося (n-2)-м элементом.

Нетрудно видеть, что (6.84) представляет собой двоичную систему сигналов с активной (паузой, ортогональную в усиленном смысле на интервале длительностью 2T, а не Т. Поэтому вероятность ошибки при приеме сигналов ОФМ по алгоритму (6.83) определяется на основании (6.82), но с учетом того, что энергия сигнала на интервале -Т÷Т равна 2Е:

где параметр h² - отношение энергии сигнала на интервале длительностью Т к спектральной плотности шума. Как и следовало ожидать, вероятность ошибки (6.85) несколько больше, чем вычисленная для когерентного приема двоичной ОФМ (6.59), однако различие между ними очень мало.

Рис. 6.17. Схема оптимального не когерентного приема сигналов ОФМ на базе активных фильтров

Для схемной реализации алгоритм (6.83) можно упростить. Для этого подставим систему сигналов (6.84) в (6.83) и после сокращения одинаковых слагаемых приведем алгоритм приема к виду

где

Полагая фазу ψ хотя и случайной, но постоянной на интервале -Т÷Т, можно легко показать, что левая часть (6.86) инвариантна к значению этой фазы.

На рис. 6.17 показана корреляционная схема, реализующая алгоритм приема (6.86) на основе активных фильтров. Величины Х_а, Х_b, Y_a, Y_b получаются путем интегрирования произведения элемента принимаемого колебания на опорные сигналы cos (ω₀t+ψ) sin(ω₀+ψ) на интервале длительностью Т.

В моменты времени, кратные Т, величины Х_b и Y_b снимаются непосредственно с интеграторов, а Х_а и Y_a - с выхода цепи задержки на время Т. На рис. 6.17 не показаны цепи, осуществляющие сброс интегратора к концу интервала интегрирования и ввод накопленного на нем результата в перемножитель и цепь задержки на время Т.

Не когерентный прием ОФМ можно реализовать также в схеме с согласованным фильтром и линией задержки (рис. 6.18). Приходящий сигнал поступаег на фильтр СФ, согласованный с элементом сигнала u₁(t) = cos(ω₀t+ψ) длительностью Т. Отклик фильтра поступает на два входа перемножителя, на один из них непосредственно, а на другой - через линию задержки (ЛЗ), обеспечивающую задержку на время Т. Таким образом, вблизи момента отсчета на перемножитель поступают напряжения, соответствующие двум соседним элементам сигнала - только что закончившемуся и предыдущему, прошедшему через линию задержки. Можно показать, что первое из этих напряжений выражается формулой u₁(t) = Х_а cos ω₀t + Y_a sin ω₀t, а второе u₂(t) = Х_b cos ω₀t + Y_b sin ω₀t. После их перемножения и фильтрации результата ФНЧ получаем напряжение X_aX_b + Y_aY_b, которое в РУ сравнивается с нулевым порогом, т. е. реализуется алгоритм (6.86). Описанную схему называют схемой сравнения фаз.

Остановимся кратко на некоторых (схемах не оптимального приема при неопределенной фазе сигнала, широко используемых в современной аппаратуре Связи. При приеме сигналов двоичной AM распространена схема рис. 6.19. Здесь амплитудный детектор (Д) и фильтр нижних частот (ФНЧ) выделяют огибающую r(t) принимаемого колебания, прошедшего входной избирательный блок - полосовой фильтр (ПФ) с эффективной полосой пропускания F_э, достаточной для получения всех наиболее существенных компонент сигнала. Огибающая r(t) с выхода ФНЧ в определенные моменты времени (например, в середине посылки) сравнивается в РУ с некоторым пороговым уровнем λ. При выполнении неравенства

регистрируется символ 1, в противном случае - 0. Сравнивая (6.88) с алгоритмом (6.71), можно видеть, что схема рис. 6.19 отличается от оптимальной не когерентной схемы рис. 6.18 использованием полосового фильтра и после - детекторного фильтра нижних частот вместо одного согласованного фильтра до детектора.

Рис. 6.18. Схема оптимального не когерентного приема с согласованным фильтром и линией задержки для сигналов ОФМ

Рис. 6.19. Схема не оптимального приема сигналов AM методом сравнения огибающей с пороговым уровнем

Рис. 6.20. Схема не оптимального не когерентного приема сигналов ЧМ с разделительными полосовыми фильтрами

При приеме сигналов двоичной ЧМ распространена схема рис. 6.20, где ПФА и ПФо - разделительные полосовые фильтры, пропускающие без существенных искажений соответственно сигналы s₁(t) и s₀(t); Д - амплитудный детектор. Разностный сигнал двух детекторов подвергается фильтрации в ФНЧ, а результат для выбора решения сравнивается с нулевым порогом.

Анализ такой схемы приводит к следующим результатам. Вероятность ошибок в схеме рис. 6.20 больше, чем при оптимальном не когерентном приеме, причем ее возрастание обусловливается двумя основными факторами:

а) уменьшением отношения мощности сигнала к мощности шума по сравнению с согласованным фильтром;

б) межсимвольными помехами, создаваемыми переходными процессами в фильтрах (остаточными собственными колебаниями, возникшими в результате воздействия предыдущих элементов сигнала).

Как указывалось в § 6.4 (см. с. 180), первый из этих факторов вызывает наименьшую потерю помехоустойчивости, если полоса пропускания полосового фильтра Δf = 1,37/Г. Однако при такой полосе пропускания весьма существенные погрешности вносятся за счет второго фактора - межсимвольной интерференции. Поэтому наименьшая вероятность ошибок в схеме с полосовыми разделительными фильтрами при отсутствии ФНЧ достигается, при более широкой полосе пропускания примерно при Δf ≈ 3/Т. Можно показать, что для получения одинаковой вероятности ошибок в схеме с полосовыми разделительными фильтрами требуется в ΔfT раз (в данном примере в 3 раза) большая мощность сигнала, чем в схеме оптимального некогерентного приема, что и определяет энергетический проигрыш при замене согласованных фильтров полосовыми.

Схему приемников с не оптимальной фильтрацией до и после детектора широко используют на практике в тех случаях, когда частотная стабильность недостаточна, т. е. неточность частоты сигнала |δF|>1/7 и, следовательно, реализация оптимального приема с согласованной фильтрацией фактически невозможна. Это имеет место, например, вследствие эффекта Допплера при связи с движущимися объектами или при использовании движущегося спутника для ретрансляции при больших нестабильностях частот автогенераторов и т. п.

Если полосы пропускания входных фильтров Δf в схемах рис. 6.19 и 6.20 удовлетворяют условию Δf>2|6/7|, то сигнал останется в полосе пропускания фильтра при всевозможных флуктуациях частот. При этом значение ΔfT может оказаться значительно больше 1, и не будь фильтрации сигнала после детектора, энергетический проигрыш по сравнению с оптимальным приемом при стабильной частоте сигнала был бы весьма существен. Однако есть возможность значительно уменьшить этот проигрыш, применив фильтрацию напряжения, снимаемого с выхода детектора. При 2|δF|T>>1 полосовой фильтр почти не искажает огибающую входного сигнала, поэтому при отсутствии помех напряжение на выходе детектора в схеме рис. 6.19 представляет собой однополярные импульсы, а на выходе блока вычитания схемы рис. 6.20 - двухполярные. При небольшом уровне шума на входе детектора условия на его выходе приближенно такие же, как при приеме прямоугольных импульсов на фоне белого гауссовского шума. Поэтому естественно включить после детектора фильтр, согласованный с прямоугольным импульсом (см. рис. 6.10,а). На практике часто применяют и несогласованный последетекторный фильтр нижних частот, как это показано в схемах рис. 6.19 и 6.20.