§ 5.4. Нахождение определителя схемы по топологическим формулам

1. Определитель матрицы узловых проводимостей Δ^(у) равен сумме произведений проводимостей ветвей всех деревьев графа схемы:

где n_д - число всех деревьев графа; - произведение проводимостей ветвей n-го дерева графа.

Если проводимость каждой ветви схемы принять равной единице, то узловой определитель равен числу деревьев графа:

2. Определитель матрицы проводимостей сечений равен определителю проводимостей ветвей:

Рассмотрим упрощенные методы вычисления определителя такие, как разложение определителя по узлу или по путям между двумя узлами.

Разложение определителя по узлу. Если к выбранному узлу m подходит n ветвей с проводимостями a₁, a₂, ..., a_n, то определитель

где Δ_k - определитель, получающийся из определителя исходной схемы закорачиванием ветви a_k и размыканием всех остальных ветвей, сходящихся в узле; - определитель, получающийся из определителя исходной схемы закорачиванием ветвей и ау и размыканием всех остальных ветвей, подходящих к узлу (равен сумме произведений проводимостей всех деревьев образованного графа); - определитель, получающийся из определителя исходной схемы при одновременном закорачивании ветвей i, j, ..., k и размыкании остальных ветвей, подходящих к узлу. При закорачивании всех ветвей определитель равен единице.

Пример. Для графа рис. 5.9 разложить определитель Δ по узлу I.

Рис. 5.9

Решение. К узлу I подходят три ветви a, d и f, поэтому определитель, разложенный по выбранному узлу,

В каждое слагаемое этого равенства входят определители соответствующих подграфов.

Разложение определителя по узлу

Определитель схемы

Разложение определителя по путям между двумя узлами. Выбирают два узла и устанавливают все пути между ними. Тогда определитель

где P_k - величина k-го пути, равная произведению проводимостей всех ветвей этого пути; Δ_k - алгебраическое дополнение пути, получаемое из определителя схемы при коротком замыкании всего пути и равное сумме произведений проводимости ветвей всех деревьев.

Суммирование выполняют по всем возможным ветвям между выбранными деревьями и узлами.

Если замыкаются накоротко все узлы, которые входят в рассматриваемый путь, то Δ_k = 1.

Пример. Найти определитель Δ разложением по путям между I и III узлами графа рис. 5.9.

Решение. Между узлами I и III возможны пять путей: ab, de, f, ace и dcb, каждому из которых соответствует подграф. Для каждого подграфа находят свой определитель Δ_k, после чего получают определитель исходной схемы

Разложение определителя по путям между двумя узлами

Таким образом, определитель схемы