НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 5.4. Нахождение определителя схемы по топологическим формулам

1. Определитель матрицы узловых проводимостей Δ(у) равен сумме произведений проводимостей ветвей всех деревьев графа схемы:


где nд - число всех деревьев графа; - произведение проводимостей ветвей n-го дерева графа.

Если проводимость каждой ветви схемы принять равной единице, то узловой определитель равен числу деревьев графа:

2. Определитель матрицы проводимостей сечений равен определителю проводимостей ветвей:


Рассмотрим упрощенные методы вычисления определителя такие, как разложение определителя по узлу или по путям между двумя узлами.

Разложение определителя по узлу. Если к выбранному узлу m подходит n ветвей с проводимостями a1, a2, ..., an, то определитель


где Δk - определитель, получающийся из определителя исходной схемы закорачиванием ветви ak и размыканием всех остальных ветвей, сходящихся в узле; - определитель, получающийся из определителя исходной схемы закорачиванием ветвей и ау и размыканием всех остальных ветвей, подходящих к узлу (равен сумме произведений проводимостей всех деревьев образованного графа); - определитель, получающийся из определителя исходной схемы при одновременном закорачивании ветвей i, j, ..., k и размыкании остальных ветвей, подходящих к узлу. При закорачивании всех ветвей определитель равен единице.

Пример. Для графа рис. 5.9 разложить определитель Δ по узлу I.

Рис. 5.9
Рис. 5.9

Решение. К узлу I подходят три ветви a, d и f, поэтому определитель, разложенный по выбранному узлу,


В каждое слагаемое этого равенства входят определители соответствующих подграфов.

Разложение определителя по узлу
Разложение определителя по узлу

Определитель схемы


Разложение определителя по путям между двумя узлами. Выбирают два узла и устанавливают все пути между ними. Тогда определитель


где Pk - величина k-го пути, равная произведению проводимостей всех ветвей этого пути; Δk - алгебраическое дополнение пути, получаемое из определителя схемы при коротком замыкании всего пути и равное сумме произведений проводимости ветвей всех деревьев.

Суммирование выполняют по всем возможным ветвям между выбранными деревьями и узлами.

Если замыкаются накоротко все узлы, которые входят в рассматриваемый путь, то Δk = 1.

Пример. Найти определитель Δ разложением по путям между I и III узлами графа рис. 5.9.

Решение. Между узлами I и III возможны пять путей: ab, de, f, ace и dcb, каждому из которых соответствует подграф. Для каждого подграфа находят свой определитель Δk, после чего получают определитель исходной схемы

Разложение определителя по путям между двумя узлами
Разложение определителя по путям между двумя узлами

Таким образом, определитель схемы


предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'