§ 15.3. Метод гармонического баланса

Метод гармонического баланса предполагает, что решение нелинейного дифференциального уравнения содержит только первую, первую и одну или несколько высших гармоник. При этом неизвестными являются амплитуды гармоник (если фаза э. д. с. источника равна нулю); амплитуды и начальная фаза источника; амплитуды и фазы гармоник и начальная фаза источника.

Трудность метода состоит в решении алгебраических уравнений высших степеней или трансцендентных уравнений.

Алгоритм метода. 1. Характеристику нелинейного элемента для мгновенных значений аппроксимируют соответствующим аналитическим выражением. 2. В аналитическое выражение характеристики, связывающей входные и выходные параметры нелинейного элемента, подставляют предполагаемое решение только для первой гармоники (первой и высшей гармоники). 3. Для исследуемой схемы составляют дифференциальное уравнение, в которое вводят функцию, определяющую нелинейный элемент (см. § 15.2) и предполагаемое решение. Полученное уравнение преобразовывают так, чтобы выделить синусные и косинусные составляющие. 4. Последовательно приравнивают коэффициенты при синусной и косинусной составляющих первой и высших (если они есть) гармоник. Получают два уравнения для определения неизвестных.

Пример. Определить изменение потокосцепления Ψ(i) в нелинейном элементе схемы рис. 15.2 методом гармонического баланса при u = U_msinωt.

Рис. 15.2

Решение. Приближенно представим вебер-амперную характеристику нелинейной индуктивности зависимостью i = aΨ³. Ищем решение для потокосцепления в виде

Тогда

Составим дифференциальное уравнение схемы:

В полученное уравнение подставим выражения для u, Ψ, i:

В уравнение (15.2) вместо Ψ³ вводим выражение

В результате тригонометрических преобразований все члены уравнения (15.2) представим в виде синусных A_ksin kωt и косинусных B_kcos kωt составляющих. Приравниваем коэффициенты

Решаем уравнения (15.3)-(15.6) относительно