НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.7. Некоторые свойства преобразования Фурье

Между колебанием s(t) и его спектром S(ω) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием колебания и соответствующим этому преобразованию изменением спектра. Из многочисленных возможных преобразований колебания рассмотрим следующие наиболее важные и часто встречающиеся: сдвиг колебания во времени, изменение масштаба времени, сдвиг спектра колебания по частоте, дифференцирование и интегрирование колебания. Кроме того, будут рассмотрены сложение колебаний, произведение и свертка двух колебаний, а также свойства взаимной обратимости ω и t в преобразованиях Фурье.

1. Сдвиг колебания во времени

Пусть колебание s1(t) произвольной формы существует на интервале времени от t1 до t2 и обладает спектральной плотностью S1(ω). При задержке этого колебания на величину t0 (при сохранении его формы) получим новую функцию времени


существующую на интервале от t1 + t0 до t2 + t0.

Спектральная плотность колебания s2(t) в соответствии с (2.48)


Вводя новую переменную интегрирования τ = t - t0, получаем


Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции s(t) на величину ±t0 приводит к изменению фазовой характеристики спектра S(ω) на величину ±ωt0. Очевидно и обратное положение: если всем составляющим спектра функции s(t) дать фазовый сдвиг θ(ω) = ±ωt0, линейно связанный с частотой ω, то функция сдвигается во времени на величину ±t0.

Амплитудно-частотная характеристика спектра (т. е. модуль спектральной плотности) от положения колебания на оси времени не зависит.

2. Изменение масштаба времени

Пусть колебание s1(t), изображенное на рис. 2.12 сплошной линией, подверглось сжатию во времени. Новое сжатое колебание s2(t) (штриховая кривая на рис. 2.12) связано с исходным колебанием соотношением s2(t) = s1(nt), n > 1.

Рис. 2.12. Сжатие сигнала при сохранении его формы и амплитуды
Рис. 2.12. Сжатие сигнала при сохранении его формы и амплитуды

Длительность импульса s2(t) в n раз меньше, чем у исходного импульса, и равна τи/n. Спектральная плотность сжатого импульса


Вводя новую переменную интегрирования τ = nt, получаем


Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное, как спектральная плотность исходного колебания s1(t) при частоте ω/n, т. е. S1(ω/n).

Таким образом,


Итак, при сжатии колебания в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в n раз. Очевидно, что при растягивании колебаний во времени (т. е. при n < 1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

3. Смещение спектра колебания

Применим преобразование Фурье (2.48) к произведению s(t) cos(ω0t + θ0):


Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции s(t) при частоте ω-ω0, а второй интеграл - при частоте ω+ω0. Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме


где S(ω) - спектральная плотность колебания s(t).

Из выражения (2.58) вытекает, что расщепление спектра S(ω) на две части, смещенные соответственно на +ω0 и -ω0, эквивалентно умножению функции s(t) на гармоническое колебание cosω0t (при θ0 = 0).

Более подробно это положение рассматривается в гл. 3 при изучении модулированных колебаний.

4. Дифференцирование и интегрирование колебания

Опуская строгие доказательства, ограничимся простыми рассуждениями. Дифференцирование колебания s1(t) можно рассматривать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Общий вид гармонической составляющей колебания s1(t) при частоте ω можно представить в форме


Заключенную в квадратные скобки величину можно рассматривать как амплитуду колебания в полосе dω. [Сравнить последнее выражение с (2.49).]

Дифференцирование по времени t дает


Следовательно, спектральная плотность производной ds1(t)/dt равна


Аналогично спектральная плотность интеграла равна


5. Сложение колебаний

Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным преобразованием, то очевидно, что при сложении колебаний s1(t), s2(t), ..., обладающих спектрами S1(ω), S2(ω), ..., суммарному колебанию s(t) = s1(t) + s2(t) + ... соответствует спектр S(ω) = S1(ω) + S2(ω) + ...

6. Произведение двух колебаний

Пусть рассматриваемое колебание s(t) является произведением двух функций времени f(t) и g(t).

Используя общую формулу (2.48), определяем спектр колебания s(t):


Каждую из функций f(t) и g(t) можно представить в виде интеграла Фурье


Подставляя в (2.61) второй из этих интегралов, получаем


Заключенный в квадратные скобки интеграл представляет собой спектральную плотность функции f(t) при частоте ω - х, т. е. F(ω - х). Следовательно,


Итак, спектр произведения двух функций времени f(t) и g(t) равен (с коэффициентом 1/2π) свертке их спектров F(ω) и G(ω).

Из выражений (2.61) и (2.62) в частном случае ω = 0 вытекает следующее равенство:


Заменяя в последнем выражении х на ω, получаем


где F*(ω) = F(-ω) - спектральная функция, комплексно-сопряженная функции F(ω).

Совершенно аналогично можно показать, что произведению двух спектров F(ω) G(ω) = S(ω) соответствует функция времени s(t), являющаяся сверткой функций f(t) и g(t):


Последнее выражение особенно широко используется при анализе передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции времени f(t) и g(t) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной характеристики цепи (см. § 6.3), a F(ω) и G(ω) - спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.

7. Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях Фурье

Обратимся к общему выражению (2.48) и выясним характер функции S(ω) для различных функций s(t).

а. Пусть s(t) есть функция, четная относительно t. Переписывая выражение (2.48) в виде


убеждаемся, что при четности s(t) второй интеграл равен нулю, так как произведение s(t) sinωt является функцией, нечетной относительно t, а пределы интегрирования симметричны.

Таким образом, при s(t), четной относительно t, функция S(ω), определяемая первым интегралом, есть функция вещественная и четная относительно ω.

б. Если s(t) нечетна относительно t, то в нуль обращается первый интеграл и


В этом случае S(ω) - нечетная и чисто мнимая функция ω.

в. Если, наконец, s(t) не является четной или нечетной функцией относительно t, то ее можно разложить на две функции: четную s1(t) и нечетную s2(t). При этом S(ω) представляет комплексную функцию, причем действительная ее часть четна, а мнимая нечетна относительно ω.

Из п. а вытекает, что при четной функции s(t) можно произвольно выбирать знак перед t. в обратном преобразовании Фурье [формула (2.49)]; выберем знак минус и запишем формулу (2.49) в виде


Произведем теперь в последнем интеграле замену переменной интегрирования ω на t и параметра t на ω. Тогда левая часть должна быть записана в виде функции от аргумента ω


Но интеграл в последнем выражении можно рассматривать как спектральную плотность новой функции S(t), полученной путем замены ω на t в выражении спектральной плотности колебания s(t).

Обозначим эту новую спектральную плотность через S'(ω). Тогда


Этот результат показывает, что переменные ω и t в преобразованиях Фурье взаимно заменимы: если колебанию (четному) s(t) соответствует спектр S(ω), то колебанию S(t) соответствует спектр 2πs(ω).

Пример применения этого правила приводится в п. 3, § 2.9.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'