НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.9. Примеры определения спектров непериодических колебаний

Основной задачей настоящего параграфа является пояснение свойств преобразований Фурье, приведенных в предыдущих параграфах, на примерах, важных для практики.

1. Импульс прямоугольной формы

Простейшее колебание, определяемое выражением


и представленное на рис. 2.13, получило широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Применяя формулу (2.48), находим спектральную плотность (рис. 2.14)


Рис. 2.13. Импульс прямоугольной формы
Рис. 2.13. Импульс прямоугольной формы

Рис. 2.14. Спектральная плотность прямоугольного импульса
Рис. 2.14. Спектральная плотность прямоугольного импульса

Заметим, что произведение Аτи, равное площади импульса, определяет значение спектральной плотности импульса при ω = 0, т. е. S1(0) = Аτи. Этот вывод можно распространить на импульс произвольной формы.

Действительно, из общего выражения (2.48) следует, что


Правая часть этого выражения есть не что иное, как площадь импульса s1(t). Таким образом, выражение (2.68) можно записать в форме


Здесь через sinc(ωτи/2) обозначена функция


При удлинении (растягивании) импульса расстояние между нулями функции S1(ω) сокращается, что равносильно сужению спектра. Значение S1(0) при этом возрастает. При укорочении (сжатии) импульса, наоборот, расстояние между нулями функции S1(ω) увеличивается (расширение спектра), а значение S1(0) уменьшается. В пределе при точки соответствующие двум первым нулям функции Sx (со), удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот от -∞ до ∞.

На рис. 2.15 показаны отдельно графики модуля S1(ω), отнесенного к величине S1(0), и аргумента θ(ω) спектральной плотности. Первый из этих графиков можно рассматривать как амплитудную, а второй - как фазовую характеристику спектра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака S1(ω) учитывается на рис. 2.15, б приращением фазы на π.

Рис. 2.15. Модуль (а) и аргумент (б) спектральной плотности прямоугольного импульса
Рис. 2.15. Модуль (а) и аргумент (б) спектральной плотности прямоугольного импульса

При отсчете времени не от середины импульса (как на рис. 2.13), а от фронта (рис. 2.16) фазовая характеристика спектра импульса должна быть дополнена слагаемым ωτи/2, учитывающим сдвиг импульса на время τи/2 (в сторону запаздывания). Результирующая фазовая характеристика принимает при этом вид, показанный на рис. 2.15, б штриховой линией.

Рис. 2.16. Совмещение начала отсчета времени с фронтом прямоугольного импульса
Рис. 2.16. Совмещение начала отсчета времени с фронтом прямоугольного импульса

Рассмотрим вопрос о распределении энергии в спектре импульса. В соответствии с § 2.8 и формулой (2.68') спектральная плотность энергии прямоугольного импульса


С помощью равенства Парсеваля нетрудно вычислить энергию в заданной полосе частот.

Пусть нас интересует полоса Δω от -ω1 до ω1. Тогда по формуле (2.66) находим энергию в указанной полосе


где A2τи = Э есть полная энергия импульса, а функция


определяет относительную долю энергии в полосе частот от 0 до ω1.

Интеграл, входящий в выражение (2.72), с помощью интегрирования по частям может быть приведен к виду


Здесь - интегральный синус.

Таким образом,


График функции η(ω1τи/2) изображен на рис. 2.17. Из этого рисунка видно, что при ω1τи/2 = π, т. е. при f1τи = 1, в полосе частот от 0 до f1 = 1/τи сосредоточено около 90% всей энергии импульса. На основе формулы (2.73) можно выбирать полосу пропускания цепи (фильтра) по заданному коэффициенту использования энергии импульса. Следует, однако, подчеркнуть, что в тех случаях, когда требуется получить на выходе фильтра форму импульса, близкую к прямоугольной, величина произведения f1τи должна быть гораздо больше единицы.

Рис. 2.17. Доля энергии прямоугольного импульса в полосе частот 0, w1
Рис. 2.17. Доля энергии прямоугольного импульса в полосе частот 0, ω1

2. Колоколообразный (гауссов) импульс

Представленный на рис. 2.18, а импульс определяется выражением


Рис. 2.18. Колоколообразный (гауссов) импульс (а) и его спектральная плотность (б)
Рис. 2.18. Колоколообразный (гауссов) импульс (а) и его спектральная плотность (б)

Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального (гауссова) закона распределения вероятностей, называется также "гауссовым импульсом". Постоянная а имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне e1/2 = 1/е1/2 = 0,606 от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса τи равна 2а.

Применяя выражение (2.48), получаем


Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы


где величина d определяется из условия


откуда


Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду


Переходя к новой переменной получаем


Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен окончательно получаем


где

График этой функции изображен на рис. 2.18, б.

Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссов импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t на ω. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне е1/2 от максимального значения, равна 2b = 2/а = 2⋅2/τи = 4/τи, а коэффициент


Гауссову спектру


соответствует гауссов импульс


с длительностью 2/b и амплитудой

Очевидно, что чем меньше длительность импульса τи, тем шире спектральная полоса 2b.

Вычислим энергию, содержащуюся в полосе частот Δω от -ω1 до ω1. Основываясь на формуле (2.77), находим


где - интеграл вероятности, а - полная энергия колоколообразного импульса.

Таким образом, отношение энергии в полосе частот от -ω1 до ω1 к полной энергии гауссова импульса равно Φ(аω1).

Функция Φ(z) табулирована, график ее показан на рис. 2.19. Для получения 90% энергии импульсу требуется z = aω1 ≈ 1,16 или произведение полной длительности импульса 2а на 2f1 равное


Рис. 2.19. Доля энергии гауссова импульса в полосе частот 0, w1
Рис. 2.19. Доля энергии гауссова импульса в полосе частот 0, ω1

3. Импульс вида sinc(x)

На рис. 2.20, а изображен импульс, определяемый выражением


Рис. 2.20. Импульс вида sinc(wmt) (а) и его спектральная плотность (б)
Рис. 2.20. Импульс вида sinc(ωmt) (а) и его спектральная плотность (б)

Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2.48) воспользуемся результатами примера 1 данного параграфа и свойством взаимной заменимости ω и t в преобразованиях Фурье для четных функций времени (см. п. 7, § 2.7).

Из рисунков 2.13 и 2.14 очевидно, что после замены ω на t и t на ω заданной функции s3(t) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Для применения преобразования (2.65) нужно сначала пронормировать функцию S1ω на рис. 2.14 таким образом, чтобы максимальное ее значение S1(0) равнялось единице (как и s3(t) = s3(0) на рис. 2.20, а). Приравняв Aτи = 1, получим амплитуду импульса s1(t) на рис. 2.13, равную 1/τи. Заменив далее t на ω, τи/2 на ωm и амплитуду импульса 1/τи на 1/2ωm, получим спектральную функцию


Применяя формулу (2.65), находим искомую спектральную плотность


График S3(ω) представлен на рис. 2.20, б.

4. Группа одинаковых и равноотстоящих импульсов

Спектральную плотность первого импульса в пачке (рис. 2.21) обозначим через S1(ω). Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого на время Т (в сторону запаздывания), спектральную плотность можно на основании (2.57) представить выражением S2(ω) = S1(ω)е-iωT, для третьего импульса S3(ω) = S1(ω)е-i2ωT и т. д.

Рис. 2.21. Пачка одинаковых, равноотстоящих импульсов
Рис. 2.21. Пачка одинаковых, равноотстоящих импульсов

Для группы из N импульсов в соответствии с принципом линейного суммирования спектров при сложении сигналов получим спектральную плотность


При частотах, отвечающих условию ω = k2π/T, где k - целое число, каждое из слагаемых в квадратных скобках равно единице и, следовательно,


Таким образом, при частотах ω = k2π/Т модуль спектральной плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектральные составляющие различных импульсов с указанными выше частотами складываются со сдвигами фаз, кратными 2π.

При частотах же ω = (1/N)(2π/Т), а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов e-ikT обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю. При промежуточных значениях частот модуль S(ω) определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов.

В качестве иллюстрации на рис, 2.22, а изображен спектр (модуль) пачки из трех прямоугольных импульсов, а на рис. 2.22, б - из четырех, при интервале между соседними импульсами Т = 3τи. Штриховыми линиями показана спектральная плотность одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке спектральная плотность все более расщепляется и в пределе при N→∞ принимает линейчатую структуру спектра периодической функции.

Рис. 2.22. Модуль спектральной плотности пачки из трех (а) и четырех (б) импульсов
Рис. 2.22. Модуль спектральной плотности пачки из трех (а) и четырех (б) импульсов

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'