2.9. Примеры определения спектров непериодических колебаний

Основной задачей настоящего параграфа является пояснение свойств преобразований Фурье, приведенных в предыдущих параграфах, на примерах, важных для практики.

1. Импульс прямоугольной формы

Простейшее колебание, определяемое выражением

и представленное на рис. 2.13, получило широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Применяя формулу (2.48), находим спектральную плотность (рис. 2.14)

Рис. 2.13. Импульс прямоугольной формы

Рис. 2.14. Спектральная плотность прямоугольного импульса

Заметим, что произведение Аτ_и, равное площади импульса, определяет значение спектральной плотности импульса при ω = 0, т. е. S₁(0) = Аτ_и. Этот вывод можно распространить на импульс произвольной формы.

Действительно, из общего выражения (2.48) следует, что

Правая часть этого выражения есть не что иное, как площадь импульса s₁(t). Таким образом, выражение (2.68) можно записать в форме

Здесь через sinc(ωτ_и/2) обозначена функция

При удлинении (растягивании) импульса расстояние между нулями функции S₁(ω) сокращается, что равносильно сужению спектра. Значение S₁(0) при этом возрастает. При укорочении (сжатии) импульса, наоборот, расстояние между нулями функции S₁(ω) увеличивается (расширение спектра), а значение S₁(0) уменьшается. В пределе при точки соответствующие двум первым нулям функции Sx (со), удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот от -∞ до ∞.

На рис. 2.15 показаны отдельно графики модуля S₁(ω), отнесенного к величине S₁(0), и аргумента θ(ω) спектральной плотности. Первый из этих графиков можно рассматривать как амплитудную, а второй - как фазовую характеристику спектра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака S₁(ω) учитывается на рис. 2.15, б приращением фазы на π.

Рис. 2.15. Модуль (а) и аргумент (б) спектральной плотности прямоугольного импульса

При отсчете времени не от середины импульса (как на рис. 2.13), а от фронта (рис. 2.16) фазовая характеристика спектра импульса должна быть дополнена слагаемым ωτ_и/2, учитывающим сдвиг импульса на время τ_и/2 (в сторону запаздывания). Результирующая фазовая характеристика принимает при этом вид, показанный на рис. 2.15, б штриховой линией.

Рис. 2.16. Совмещение начала отсчета времени с фронтом прямоугольного импульса

Рассмотрим вопрос о распределении энергии в спектре импульса. В соответствии с § 2.8 и формулой (2.68') спектральная плотность энергии прямоугольного импульса

С помощью равенства Парсеваля нетрудно вычислить энергию в заданной полосе частот.

Пусть нас интересует полоса Δω от -ω₁ до ω₁. Тогда по формуле (2.66) находим энергию в указанной полосе

где A²τ_и = Э есть полная энергия импульса, а функция

определяет относительную долю энергии в полосе частот от 0 до ω₁.

Интеграл, входящий в выражение (2.72), с помощью интегрирования по частям может быть приведен к виду

Здесь - интегральный синус.

Таким образом,

График функции η(ω₁τ_и/2) изображен на рис. 2.17. Из этого рисунка видно, что при ω₁τ_и/2 = π, т. е. при f₁τ_и = 1, в полосе частот от 0 до f₁ = 1/τ_и сосредоточено около 90% всей энергии импульса. На основе формулы (2.73) можно выбирать полосу пропускания цепи (фильтра) по заданному коэффициенту использования энергии импульса. Следует, однако, подчеркнуть, что в тех случаях, когда требуется получить на выходе фильтра форму импульса, близкую к прямоугольной, величина произведения f₁τ_и должна быть гораздо больше единицы.

Рис. 2.17. Доля энергии прямоугольного импульса в полосе частот 0, ω₁

2. Колоколообразный (гауссов) импульс

Представленный на рис. 2.18, а импульс определяется выражением

Рис. 2.18. Колоколообразный (гауссов) импульс (а) и его спектральная плотность (б)

Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального (гауссова) закона распределения вероятностей, называется также "гауссовым импульсом". Постоянная а имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне e^1/₂ = 1/е^1/₂ = 0,606 от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса τ_и равна 2а.

Применяя выражение (2.48), получаем

Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы

где величина d определяется из условия

откуда

Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду

Переходя к новой переменной получаем

Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен окончательно получаем

где

График этой функции изображен на рис. 2.18, б.

Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссов импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t на ω. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне е^1/₂ от максимального значения, равна 2b = 2/а = 2⋅2/τ_и = 4/τ_и, а коэффициент

Гауссову спектру

соответствует гауссов импульс

с длительностью 2/b и амплитудой

Очевидно, что чем меньше длительность импульса τ_и, тем шире спектральная полоса 2b.

Вычислим энергию, содержащуюся в полосе частот Δω от -ω₁ до ω₁. Основываясь на формуле (2.77), находим

где - интеграл вероятности, а - полная энергия колоколообразного импульса.

Таким образом, отношение энергии в полосе частот от -ω₁ до ω₁ к полной энергии гауссова импульса равно Φ(аω₁).

Функция Φ(z) табулирована, график ее показан на рис. 2.19. Для получения 90% энергии импульсу требуется z = aω₁ ≈ 1,16 или произведение полной длительности импульса 2а на 2f₁ равное

Рис. 2.19. Доля энергии гауссова импульса в полосе частот 0, ω₁

3. Импульс вида sinc(x)

На рис. 2.20, а изображен импульс, определяемый выражением

Рис. 2.20. Импульс вида sinc(ω_mt) (а) и его спектральная плотность (б)

Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2.48) воспользуемся результатами примера 1 данного параграфа и свойством взаимной заменимости ω и t в преобразованиях Фурье для четных функций времени (см. п. 7, § 2.7).

Из рисунков 2.13 и 2.14 очевидно, что после замены ω на t и t на ω заданной функции s₃(t) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Для применения преобразования (2.65) нужно сначала пронормировать функцию S₁ω на рис. 2.14 таким образом, чтобы максимальное ее значение S₁(0) равнялось единице (как и s₃(t) = s₃(0) на рис. 2.20, а). Приравняв Aτ_и = 1, получим амплитуду импульса s₁(t) на рис. 2.13, равную 1/τ_и. Заменив далее t на ω, τ_и/2 на ω_m и амплитуду импульса 1/τ_и на 1/2ω_m, получим спектральную функцию

Применяя формулу (2.65), находим искомую спектральную плотность

График S₃(ω) представлен на рис. 2.20, б.

4. Группа одинаковых и равноотстоящих импульсов

Спектральную плотность первого импульса в пачке (рис. 2.21) обозначим через S₁(ω). Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого на время Т (в сторону запаздывания), спектральную плотность можно на основании (2.57) представить выражением S₂(ω) = S₁(ω)е^-iωT, для третьего импульса S₃(ω) = S₁(ω)е^-i2ωT и т. д.

Рис. 2.21. Пачка одинаковых, равноотстоящих импульсов

Для группы из N импульсов в соответствии с принципом линейного суммирования спектров при сложении сигналов получим спектральную плотность

При частотах, отвечающих условию ω = k2π/T, где k - целое число, каждое из слагаемых в квадратных скобках равно единице и, следовательно,

Таким образом, при частотах ω = k2π/Т модуль спектральной плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектральные составляющие различных импульсов с указанными выше частотами складываются со сдвигами фаз, кратными 2π.

При частотах же ω = (1/N)(2π/Т), а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов e^-ikT обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю. При промежуточных значениях частот модуль S(ω) определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов.

В качестве иллюстрации на рис, 2.22, а изображен спектр (модуль) пачки из трех прямоугольных импульсов, а на рис. 2.22, б - из четырех, при интервале между соседними импульсами Т = 3τ_и. Штриховыми линиями показана спектральная плотность одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке спектральная плотность все более расщепляется и в пределе при N→∞ принимает линейчатую структуру спектра периодической функции.

Рис. 2.22. Модуль спектральной плотности пачки из трех (а) и четырех (б) импульсов