НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.14. Представление сигналов с ограниченной частотной полосой в виде ряда Котельникова

В теории и технике сигналов широко используется теорема Котельникова (теорема отсчетов): если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше чем fm, то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на 1/2 fm секунд.

В соответствии с этой теоремой сигнал s(t), ограниченный по по спектру наивысшей частотой ωm = 2πfm, можно представить рядом


В этом выражении 1/2fm = Δt обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а s(n/2fm) = s(nΔt) - выборки функции s(t) в моменты времени t = nΔt.

Представление заданной функции s(t) рядом (2.120) иллюстрируется рис. 2.35.

Рис. 2.35. Представление сигнала рядом Котельникова
Рис. 2.35. Представление сигнала рядом Котельникова

Функция вида


уже встречавшаяся ранее (см. § 2.9, рис. 2.20, а), обладает следующими свойствами:

а) в точке t = nΔt φn(nΔt) = 1, а в точках t = kΔt, где k - любое целое положительное или отрицательное число, отличное от n, φn (kΔt) = 0;

б) спектральная плотность функции φ0(t) равномерна в полосе частот |ω| < ωm и равна 1/2fm = π/ωm [см. (2.82) и рис. 2.20, б]. Так как функция φn(t) отличается от φ0(t) только сдвигом на оси времени на величину nΔt, то спектральная плотность функции φn(t)


Модуль этой функции изображен в нижней части рис. 2.36 (сплошной линией).

То, что ряд (2.120) точно определяет заданный сигнал s(t) в точках отсчета, не требует дополнительных доказательств, поскольку коэффициентами ряда являются сами выборки из функции, т. е. величины s(nΔt). Можно доказать, что ряд (2.120) определяет функцию s(t) в любой момент t, а не только в точках отсчета t = nΔt. Воспользуемся для этого общими правилами разложения функции по ортогональной системе, изложенными в § 2.2. В данном случае разложение производится по функциям вида (2.121), для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма ||φn|| в соответствии с (2.5)


Не предрешая заранее значения коэффициентов ряда (2.120), применим для их определения общую формулу (2.9), справедливую для обобщенного ряда Фурье:


При этом мы исходим из условия, что s(t) - квадратично интегрируемая функция (энергия сигнала конечна).

Для вычисления интеграла в выражении (2.124) воспользуемся формулой (2.63), согласно которой


Пределы интегрирования здесь приведены в соответствии с заданной граничной частотой ωm = 2πfm в спектре сигнала, а также в спектре функции φn(t).

Интеграл в правой части (2.125) с коэффициентом 1/2π есть не что иное, как значение s(t) в момент t = nΔt. Таким образом,


Подставляя этот результат в (2.124), получаем окончательное выражение


из которого следует, что коэффициентами ряда (2.120) являются выборки функции s(t) в точках t = nΔt.

Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции s(t), ряд (2.120) сходится к функции s(t) при любом значении t.

Если взять интервал между выборками Δt' меньшим, чем Δt = 1/2fm, то ширина 2fm спектра Φ'n(ω) функции φ'n будет больше, чем у спектра S(ω) сигнала s(t) (рис. 2.36), но это не отразится на величине коэффициента сn. Модуль функции Φ'(ω) изображен на рис. 2.36 штриховой линий.

Рис. Связь между спектром сигнала s(t) и спектром базисной функции n(t)
Рис. Связь между спектром сигнала s(t) и спектром базисной функции φn(t)

При увеличении же Δt" по сравнению с Δt спектр Φ"n(ω) функции φ"n(t) (на рис. 2.36 показан штрих-пунктиром) становится уже, чем спектр сигнала s(t), и при вычислении интеграла в выражении (2.125) пределы интегрирования должны быть -2πf"m, 2πf"m вместо -2πfm; 2πfm. Коэффициенты сn при этом являются уже выборками не заданного сигнала s(t), а некоторой другой функции s1(t), спектр которой ограничен наивысшей частотой f"m.

Итак, сокращение интервалов между выборками по сравнению с величиной 1/2 fm допустимо, но бесполезно. Увеличение же интервала сверх величины 1/2 fm недопустимо.

Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s(t) конечна и равна Тс, а полоса частот по-прежнему равна fm. Эти условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конечной длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром. Практически, однако, всегда можно определить наивысшую частоту спектра fm так, чтобы "хвосты" функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих fm, содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией заданного сигнала s(t). При таком допущении, если имеется сигнал длительностью Тc с полосой частот fm, общее число независимых параметров [т. е. значений s(nΔt)], которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно, будет равно


При этом выражение (2.120) принимает следующий вид (при отсчете времени от первой выборки):


Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала s(t), так как даже при произвольном выборе значений s(nΔt) сумма вида (2.127) определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности сигнала. Число N иногда называют также базой сигнала.

Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок.

Используя формулы (2.16) и (2.123), получаем



Из последнего выражения видно, что средняя за время Tc мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборки, Усреднение производится по всем интервалам, число которых равно 2fmТc.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'