2.14. Представление сигналов с ограниченной частотной полосой в виде ряда Котельникова

В теории и технике сигналов широко используется теорема Котельникова (теорема отсчетов): если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше чем f_m, то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на 1/2 f_m секунд.

В соответствии с этой теоремой сигнал s(t), ограниченный по по спектру наивысшей частотой ω_m = 2πf_m, можно представить рядом

В этом выражении 1/2f_m = Δt обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а s(n/2f_m) = s(nΔt) - выборки функции s(t) в моменты времени t = nΔt.

Представление заданной функции s(t) рядом (2.120) иллюстрируется рис. 2.35.

Рис. 2.35. Представление сигнала рядом Котельникова

Функция вида

уже встречавшаяся ранее (см. § 2.9, рис. 2.20, а), обладает следующими свойствами:

а) в точке t = nΔt φ_n(nΔt) = 1, а в точках t = kΔt, где k - любое целое положительное или отрицательное число, отличное от n, φ_n (kΔt) = 0;

б) спектральная плотность функции φ₀(t) равномерна в полосе частот |ω| < ω_m и равна 1/2f_m = π/ω_m [см. (2.82) и рис. 2.20, б]. Так как функция φ_n(t) отличается от φ₀(t) только сдвигом на оси времени на величину nΔt, то спектральная плотность функции φ_n(t)

Модуль этой функции изображен в нижней части рис. 2.36 (сплошной линией).

То, что ряд (2.120) точно определяет заданный сигнал s(t) в точках отсчета, не требует дополнительных доказательств, поскольку коэффициентами ряда являются сами выборки из функции, т. е. величины s(nΔt). Можно доказать, что ряд (2.120) определяет функцию s(t) в любой момент t, а не только в точках отсчета t = nΔt. Воспользуемся для этого общими правилами разложения функции по ортогональной системе, изложенными в § 2.2. В данном случае разложение производится по функциям вида (2.121), для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма ||φ_n|| в соответствии с (2.5)

Не предрешая заранее значения коэффициентов ряда (2.120), применим для их определения общую формулу (2.9), справедливую для обобщенного ряда Фурье:

При этом мы исходим из условия, что s(t) - квадратично интегрируемая функция (энергия сигнала конечна).

Для вычисления интеграла в выражении (2.124) воспользуемся формулой (2.63), согласно которой

Пределы интегрирования здесь приведены в соответствии с заданной граничной частотой ω_m = 2πf_m в спектре сигнала, а также в спектре функции φ_n(t).

Интеграл в правой части (2.125) с коэффициентом 1/2π есть не что иное, как значение s(t) в момент t = nΔt. Таким образом,

Подставляя этот результат в (2.124), получаем окончательное выражение

из которого следует, что коэффициентами ряда (2.120) являются выборки функции s(t) в точках t = nΔt.

Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции s(t), ряд (2.120) сходится к функции s(t) при любом значении t.

Если взять интервал между выборками Δt' меньшим, чем Δt = 1/2f_m, то ширина 2f_m спектра Φ'_n(ω) функции φ'_n будет больше, чем у спектра S(ω) сигнала s(t) (рис. 2.36), но это не отразится на величине коэффициента с_n. Модуль функции Φ'(ω) изображен на рис. 2.36 штриховой линий.

Рис. Связь между спектром сигнала s(t) и спектром базисной функции φ_n(t)

При увеличении же Δt" по сравнению с Δt спектр Φ"_n(ω) функции φ"_n(t) (на рис. 2.36 показан штрих-пунктиром) становится уже, чем спектр сигнала s(t), и при вычислении интеграла в выражении (2.125) пределы интегрирования должны быть -2πf"_m, 2πf"_m вместо -2πf_m; 2πf_m. Коэффициенты с_n при этом являются уже выборками не заданного сигнала s(t), а некоторой другой функции s₁(t), спектр которой ограничен наивысшей частотой f"_m.

Итак, сокращение интервалов между выборками по сравнению с величиной 1/2 f_m допустимо, но бесполезно. Увеличение же интервала сверх величины 1/2 f_m недопустимо.

Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s(t) конечна и равна Т_с, а полоса частот по-прежнему равна f_m. Эти условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конечной длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром. Практически, однако, всегда можно определить наивысшую частоту спектра f_m так, чтобы "хвосты" функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих f_m, содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией заданного сигнала s(t). При таком допущении, если имеется сигнал длительностью Т_c с полосой частот f_m, общее число независимых параметров [т. е. значений s(nΔt)], которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно, будет равно

При этом выражение (2.120) принимает следующий вид (при отсчете времени от первой выборки):

Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала s(t), так как даже при произвольном выборе значений s(nΔt) сумма вида (2.127) определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности сигнала. Число N иногда называют также базой сигнала.

Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок.

Используя формулы (2.16) и (2.123), получаем

Из последнего выражения видно, что средняя за время T_c мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборки, Усреднение производится по всем интервалам, число которых равно 2f_mТ_c.