НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.16. Корреляционный анализ детерминированных сигналов

Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на практике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.

В качестве такой временной характеристики широко используется корреляционная функция сигнала.

Для детерминированного сигнала s(t) конечной длительности корреляционная функция определяется следующим выражением:


где τ - величина временного сдвига сигнала.

В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся вещественной функцией времени, и обозначение комплексного сопряжения можно опустить:


Из выражения (2.132) видно, что Вs(τ) характеризует степень связи (корреляции) сигнала s(t) со своей копией, сдвинутой на величину τ по оси времени. Ясно, что функция Вs(τ) достигает максимума при τ = 0, так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом


т. е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала.

С увеличением τ функция Вs(τ) убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов s(t) и s(t + τ) на величину, превышающую длительность сигнала, обращается в нуль.

На рис. 2.38 показано построение корреляционной функции для простейшего сигнала в виде прямоугольного импульса (рис. 2.38, а). Сдвинутый на τ (в сторону опережения) сигнал s(t + τ) показан на рис. 2.38, б, а произведение s(t) s(t + τ) - на рис. 2.38, в. График функции Вs(τ) изображен на рис. 2.38, г. Каждому значению τ соответствует свое произведение s(t) s(t + τ) и площадь под графиком функции s(t) s(t + τ). Численные значения таких площадей для соответствующих τ и дают ординаты функции Bs(τ).

Рис. 2.38. Построение корреляционной функции для прямоугольного импульса
Рис. 2.38. Построение корреляционной функции для прямоугольного импульса

Аналогичное построение для треугольного импульса изображено на рис. 2.39. Из общего определения корреляционной функции, а также из приведенных примеров видно, что безразлично, вправо или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на величину τ. Поэтому выражение (2.132) можно обобщить следующим образом:


Рис. 2.39. Построение корреляционной функции для треугольного импульса
Рис. 2.39. Построение корреляционной функции для треугольного импульса

Это равносильно утверждению, что Вs(τ) является четной функцией τ.

На рис. 2.40, а показан сигнал в виде пачки из четырех одинаковых импульсов, сдвинутых один относительно другого на время Т1, а на рис. 2.40, б - соответствующая этому сигналу корреляционная функция. Вблизи значений τ, равных 0, ±T1, ±2T1 и ±3T1, эта функция имеет такой же вид, как и для одиночного импульса (см. рис. 2.38, г). Максимальное значение корреляционной функции (при τ = 0) равно учетверенной энергии одного импульса.

Рис. 2.40. Пачка из четырех прямоугольных импульсов (а) и корреляционная функция (б)
Рис. 2.40. Пачка из четырех прямоугольных импульсов (а) и корреляционная функция (б)

Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, определение корреляционной функции с помощью выражений (2.132) или (2.132') неприемлемо. В этом случае исходят из следующего определения:


При таком определении корреляционная функция приобретает размерность мощности, причем Bs пер(0) равна средней мощности периодического сигнала. Ввиду периодичности сигнала s(t) усреднение произведения s(t) s(t + τ) или s(t - τ) s(t) по бесконечно большому отрезку T должно совпадать с усреднением по периоду Т1. Поэтому выражение (2.134) можно заменить выражением


Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как корреляционная функция сигнала на интервале Т1. Обозначая ее через BsT1(τ), приходим к соотношению


Из (2.135) вытекает также очевидное утверждение: периодическому сигналу s(t) соответствует и периодическая корреляционная функция Bs пep(τ). Период функции Bs пep(τ) совпадает с периодом Т1 исходного сигнала s(t). Так, например, для простейшего (гармонического) сигнала s(t) = А0 cos(ω0t + θ0) корреляционная функция


При τ = 0 Bs пep(0) = 1/2 А02 есть средняя мощность гармонического колебания с амплитудой А0. Важно отметить, что корреляционная функция Bs пер(τ) не зависит от начальной фазы колебания θ0.

На рис. 2.41, б изображена корреляционная функция сигнала, представляющего собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рис. 2.41, а). Каждый из импульсов функции Вs пер(τ) совпадает по форме с корреляционной функцией одиночного импульса из периодической последовательности s(t). Однако в данном случае максимальные ординаты Bs пер(τ) равны не энергии (как на рис. 2.40), а средней мощности сигнала s(t), т. е. величине

Рис. 2.41. Периодическая последовательность импульсов (а) и ее корреляционная функция (б)
Рис. 2.41. Периодическая последовательность импульсов (а) и ее корреляционная функция (б)

Для оценки степени связи между двумя различными сигналами s1(t) и s2(t) используется взаимно-корреляционная функция, определяемая общим, выражением


Для вещественных функций s1(t) и s2(t)


Рассмотренная выше корреляционная функция Bs(τ) является частным случаем функции Вs1s2(τ), когда s1(t) = s2(t).

Построение взаимно-корреляционной функции для двух сигналов s1(t) и s2(t) приведено на рис. 2.42. Исходное положение сигналов (τ = 0) показано на рис. 2.42, а. При сдвиге сигнала s2(t) влево (τ > 0, рис. 2.42, б) корреляционная функция сначала возрастает, затем убывает до нуля при τ = Т. При сдвиге вправо (τ < 0) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается асимметричная относительно оси ординат функция BS1S2 (рис. 2.42, в).

Рис 2.42. Построение взаимно-корреляционной функции: а - исходное положение сигналов; б - сдвиг сигнала s2(t) на т; в - взаимно-корреляционная функция
Рис 2.42. Построение взаимно-корреляционной функции: а - исходное положение сигналов; б - сдвиг сигнала s2(t) на τ; в - взаимно-корреляционная функция

Очевидно, что значение BS1S2 не изменится, если вместо упреждения сигнала s2(t) дать задержку сигналу s1(t). Поэтому выражение (2.139) можно обобщить следующим образом:


Следует, однако, различать выражения (2.132') и (2.140). В отличие от Вs(τ) взаимно-корреляционная функция не обязательно является четной относительно τ. Кроме того, взаимно-корреляционная функция не обязательно достигает максимума при τ = 0. Оба эти свойства функции BS1S2(τ) иллюстрируются рис. 2.42.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'