НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3.8. Спектр колебания при смешанной амплитудно-частотной модуляции

Обобщим выражения (3.25), (3.26), заменив в них постоянную амплитуду А0 функцией времени A(t):


Как и в § 3.5, 3.6, определение спектра сводится к нахождению спектров функций Ас(t) = A(t) cos θ(t) и Аs(t) = A(t) sin θ(t), т. е. огибающих квадратурных колебаний, и к последующему сдвигу этих спектров на величину ω0.

Обозначим спектральные плотности функций Ас(t) и As(t) символами SAC(ω) и SAS(ω). Тогда



Спектральная плотность квадратурного колебания ас(t) = Ас(t) cos ω0t в соответствии с выражением (2.58) (при θ0 = 0) будет


При определении спектра синусного квадратурного колебания фазовый угол θ0 в (2.58) следует приравнять -90°. Следовательно,


В области положительных частот можно считать


Таким образом, окончательно спектральная плотность колебания а(t) = ас(t) - аs(t) определяется выражением


Переходя к переменной Ω = ω - ω0, получаем


Структура спектра колебания а(t) при смешанной амплитудно-частотной модуляции зависит от соотношения и вида функций А(t) и θ(t).

При чисто амплитудной модуляции спектр колебания a(t) характеризуется полной симметрией амплитуд и фаз колебаний боковых частот относительно несущего колебания; при чисто угловой модуляции [A(t) = А0 = const] симметричны только амплитуды, фазы же колебаний боковых частот ω0 ± nΩ при нечетных n несимметричны относительно частоты ω0 (см. § 3.6). Одновременная модуляция по амплитуде и углу может при некоторых соотношениях между A(t) и θ(t) приводить к асимметрии спектра Sa0 + Ω) относительно ω0 не только по фазам, но и по амплитудам. В частности, если θ(t) является нечетной функцией t, то при любой функции А(t) спектр колебания a(t) несимметричен.

Действительно, пусть A(t) - четная функция. Тогда произведение A(t) cos θ(t) = Aс(t) - четная, а A(t) sin θ(t) = As(t) - нечетная функция t, и в соответствии со свойствами преобразования Фурье, перечисленными в § 2.7, п. 6, функция является вещественной и четной относительно Ω, а - мнимой и нечетной. С учетом множителя i второе слагаемое в (3.56) становится также вещественной, но нечетной функцией Ω и, следовательно, спектральная плотность Sa(ω) оказывается вещественной функцией, несимметричной относительно точки ω = ω0. Пример подобного спектра представлен на рис. 3.21. (По отношению к точке ω = 0 модуль спектральной плотности симметричен при любых условиях.)

Рис. 3.21. Пример асимметричного спектра при смешанной амплитудной и частотной модуляции
Рис. 3.21. Пример асимметричного спектра при смешанной амплитудной и частотной модуляции

Аналогичный результат получается и при нечетной функции А(t). В этом случае - нечетная, мнимая функция Ω, а - четная вещественная функция. Слагаемое в выражении (3.56) становится мнимым, и сумма становится функцией несимметричной (по модулю) относительно точки ω = ω0.

С помощью аналогичных рассуждений нетрудно показать, что для симметрии спектра Sa(ω) требуется четность функции θ(t) при одновременном условии, чтобы функция А(t) была либо четной, либо нечетной функцией t. Если функция А(t) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих, то спектр Sa(ω) несимметричен даже при четной функции θ(t). Например, импульс с линейной частотной модуляцией, рассмотренный в § 3.7, имеет симметричный спектр. В этом случае прямоугольная огибающая при надлежащем выборе точки отсчета времени является функцией, четной относительно t, как и функция θ(t) = 1/2βt2.

Наглядное представление о деформации спектра колебания при двойной модуляции - амплитудной и угловой - можно получить, рассмотрев случай, когда оба вида модуляции осуществляются одной и той же модулирующей функцией. Для упрощения анализа зададим эту функцию в виде гармонического колебания cos Ωt для угловой модуляции и в виде cos Ωt или sin Ωt для амплитудной.

1. Обе функции, как А(t), так и θ(t), четные относительно t:


Выражение (3.52) принимает вид


Полагая, как в § 3.3, справедливыми приближенные равенства cos (m cos Ωt) ≈ 1, sin (m cos Ωt) ≈ m cos Ωt, приводим это выражение к виду, аналогичному (3.32):


Суммируя квадратурные составляющие получаем для амплитуды результирующего колебания на частоте ω0 следующее выражение: Аналогичным образом находим амплитуду для колебаний с частотами и mМ/4 для частот Спектр колебания а(t) представлен на рис. 3.22, а. Амплитудный спектр симметричен.

Рис. 3.22. Спектр колебания при одновременной модуляции амплитуды и частоты гармонической функцией
Рис. 3.22. Спектр колебания при одновременной модуляции амплитуды и частоты гармонической функцией

2. Функция θ(t) - четная, а A(t) - сумма четной и нечетной составляющих:


Выкладки, аналогичные предыдущим, приводят к следующим амплитудам: к 1 при частоте ω0; к 1/2(М - m) при частоте ω0 + Ω; к 1/2(М + m) при частоте ω0 - Ω; к mМ/4 при частотах

Спектральная диаграмма представлена на рис. 3.22, б.

Симметрия спектра нарушается в данном примере из-за неодинаковых амплитуд колебаний верхней и нижней боковых частот

Нарушение симметрии спектра при смешанной амплитудно- частотной модуляции иногда используется как показатель неправильности работы устройства, осуществляющего амплитудную модуляцию; перекос спектра указывает на то, что полезная амплитудная модуляция сопровождается паразитной угловой модуляцией.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'