НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3.9. Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала

Современное состояние радиотехники характеризуется непрерывным усовершенствованием способов передачи информации. Это развитие идет по линии изыскания новых видов сигналов и новых способов их обработки.

Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в результате одновременной модуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по весьма сложному закону.

В любом случае предполагается, что заданный сигнал a(t) представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все спектральные составляющие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой ω0 полосе.

При представлении подобных сигналов в форме


возникает неоднозначность в выборе функций A(t) и ψ(t), так как при любой функции ψ(t) всегда можно удовлетворить уравнению (3.52) надлежащим выбором функции А(t).

Так, например, при желании простейшее (гармоническое) колебание


можно представить в форме


где ω = ω0 + Δω.

В выражении (3.58') огибающая А(t) в отличие от А0 является функцией времени, которую можно определить из условия


откуда


Из этого примера видно, что при нерациональном выборе аргумента ψ(t) (ωt вместо ω0t) очень усложнилось выражение для А(t), причем эта новая функция А(t) по существу не является "огибающей" в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую а(t) (вместо касания в точках, где a(t) имеет максимальное значение). Оперирование подобной "огибающей" не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как может привести к ошибочным практическим выводам (например, при рассмотрении работы амплитудного детектора).

Неопределенности можно избежать при представлении A(t) и ψ(t) с помощью следующих соотношений:



где а1(t) - новая функция, связанная с исходной функцией соотношениями



Эти соотношения называются преобразованиями Гильберта, а функция а1(t) - функцией, сопряженной (по Гильберту) функции а(t).

В соответствии с выражениями (3.60), (3.61) рассматриваемая функция а(t) представлена в виде проекции вектора А(t) на ось абсцисс, относительно которой отсчитывается угол ψ(t) (рис. 3.23).

Рис. 3.23. К определению огибающей амплитуд высокочастотного колебания по Гильберту
Рис. 3.23. К определению огибающей амплитуд высокочастотного колебания по Гильберту

Для выяснения смысла выражений (3.60), (3.61), а также требования, чтобы а1(t) являлась функцией, сопряженной по Гильберту исходной функции а(t), рассмотрим сначала некоторые свойства А(t), вытекающие непосредственно из выражения (3.60) и справедливые при любой функции а1(t).

Прежде всего мы видим, что в точках, где функция а1(t) равна нулю, имеет место равенство A(t) = а(t).

Дифференцируя (3.60), получаем


Отсюда видно, что при а1 = 0, когда А(t) = a(t), имеет место дополнительное равенство


Следовательно, в точках, в которых a1(t) = 0, кривые А(t) и a(t) имеют общие касательные.

Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно было рассматривать А(t) как "простейшую" огибающую быстро осциллирующей функции а(t). Необходимо потребовать, чтобы кривая A(t) касалась кривой а(t) в точках, в которых последняя имеет амплитудное или достаточно близкое к нему значение. Иными словами, в точках, где а1(t) обращается в нуль, функция а(t) должна принимать значения, близкие к амплитудным. Это условие как раз и обеспечивается, если функция а1(t) является сопряженной по Гильберту функции a(t). Это свойство преобразований Гильберта нагляднее всего иллюстрируется на примере гармонического сигнала.

Пусть а(t) = cos ω0t. Найдем сопряженную функцию а1(t). Применяя общее выражение (3.62) и переходя к новой переменной х = τ - t, находим


Известно, что


(в смысле главного значения) и


Следовательно, функции a(t) = cos ω0t соответствует сопряженная функция


которая проходит через нуль в моменты, когда исходная функция проходит через максимум. Аналогичным образом нетрудно убедиться, что функции a(t) = sin ω0t соответствует сопряженная функция


Подставляя в выражение (3.60), получаем для огибающей гармонического колебания общепринятое выражение


Аналогичный результат получается и для a(t) = sin ω0t, а1(t) = - cos ω0t.

Как видим, выражение (3.60) определяет огибающую в виде линии, касательной к точкам максимума исходной функции, и в случае гармонического колебания соединяющей два соседних максимума кратчайшим путем - прямой линией. Таким образом, выражение (3.60) определяет "простейшую" огибающую. Это свойство выражения (3.60) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале [см. выражения (3.2), (3.3)].

Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных составляющих


то сопряженная функция


Ряд (3.65) называется рядом, сопряженным ряду (3.64).

Если сигнал а(t) представлен не рядом (3.64), а интегралом Фурье


то функция а1(t) может быть представлена в виде интеграла


сопряженного интегралу (3.66).

Нетрудно установить связь между спектрами функций а(t) и а1(t). Так как при преобразовании гармонического колебания по Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность S1(ω) сопряженной функции а1(t) не может отличаться от спектральной плотности S(ω) исходной функции а(t). Фазовая же характеристика спектра S1(ω) отличается от фазовой характеристики спектра S(ω). Из сопоставления выражений (3.67) и (3.66) непосредственно вытекает, что все спектральные составляющие функции а1(t) отстают по фазе на 90° от соответствующих составляющих функции а (0. Следовательно, при ω > 0 спектральные плотности S1(ω) и S(ω) связаны соотношением


В области отрицательных частот соответственно получается


Вследствие изменения фазовой характеристики сопряженная функция а1(t) по своей форме может сильно отличаться от исходной функции a(t).

Нетрудно, наконец, заметить, что если исходный сигнал записан в форме


где огибающая А(t) определена соотношением (3.60), то сопряженную функцию можно записать в аналогичной форме


Это вытекает непосредственно из определения (3.61) и рис. 3.23.

После того как найдена сопряженная функция а1(t), нетрудно с помощью выражений (3.60), (3.61) найти огибающую А(t), полную фазу ψ(t) и, наконец, мгновенную частоту узкополосного сигнала


Выделив в найденной таким образом частоте ω(t) постоянную часть ω0, можно написать выражение для ψ(t):


в котором θ(t) не содержит слагаемого, линейно зависящего от времени. Тем самым устраняется произвол в выборе "средней частоты" сигнала ω0 и соответственно функции θ(t).

Поясним применение преобразования Гильберта для определения огибающей фазы и мгновенной частоты сигнала на следующем примере.

Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний с близкими частотами ω1 и ω2;


и требуется а(t) представить в форме


Расстройка полагается настолько малой по сравнению с (ω1 + ω2)/2, что колебанием a(t) можно считать узкополосным.

Что следует в данном случае подразумевать под А(t), ω0 и θ(t)? Непосредственно из выражения (3.74) трудно выявить структуру огибающей и фазы результирующего колебания а(t). Используем поэтому выражения (3.60), (3.61). Сопряженная функция


Применяя формулу (3.60), находим огибающую сигнала а(t):


где

причем для определенности считается, что k < 1 и Δω > 0. Полную фазу суммарного колебания находим по формуле (3.61):


Применяя далее формулу (3.72), после несложных алгебраических и тригонометрических преобразований приходим к следующему выражению для мгновенной частоты:



Так как постоянная составляющая функции η(t) равна нулю, то входящие в выражение (3.73) средняя частота ω0 и функция θ(t) будут



Итак, на основании (3.76), (3.78) и (3.80)-(3.81) выражение (3.75) приводится к виду


где η(t) определяется выражением (3.79).

При этом исключается произвол и неопределенность в выборе огибающей и фазы суммарного колебания.

Графики функции η характеризующие изменение частоты приведены на рис. 3.24 для некоторых значений k. При k → 1 получаются выбросы, описываемые дельта-функциями. Это соответствует производным скачкообразно изменяющейся фазы (на 180°) в моменты времени, когда огибающая биений обращается в нуль. При k << 1, т. е. при наложении слабого колебания А2 cos ω2t на сильное А1 cos ω1t, выражения (3.76)-(3.79) значительно упрощаются:


Рис. 3.24. Мгновенная частота колебания, являющегося суммой двух гармонических колебаний
Рис. 3.24. Мгновенная частота колебания, являющегося суммой двух гармонических колебаний

В этом случае огибающая, частота и фаза суммарного колебания изменяются по гармоническому закону с частотой |Δω| = |ω2 - ω1 относительно своих средних значений соответственно А1, ω1 и ω1t.

Формулы (3.76)-(3.83) имеют большое прикладное значение, так как в радиотехнической практике часто приходится иметь дело с биениями двух гармонических колебаний.

В заключение следует отметить, что в некоторых специальных случаях выражения (3.60)-(3.69) используют также и для широкополосных сигналов, когда понятие "огибающая" амплитуд теряет свой обычный смысл. При этом отказываются от требования, чтобы огибающая А(t) касалась кривой а(t) вблизи точек, в которых а(t) имеет амплитудное значение.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'