НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3.10. Аналитический сигнал

В электротехнике принято представлять гармоническое колебание (ток, напряжение) в форме


или


где - комплексная амплитуда.

Часто символы Re или Im опускают и пишут просто


подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения.

В современной радиотехнике представление колебаний в комплексной форме получило дальнейшее развитие и распространено на негармонические колебания.

Если задан физический сигнал в виде действительной функции а(t), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме


где а1(t) - функция, сопряженная по Гильберту сигналу а(t).

Определенная таким образом комплексная функция z(t) называется комплексным или аналитическим сигналом, соответствующим физическому сигналу а(t). Заметим, что и в выражении (3.85) мнимая часть комплексной функции является функцией, сопряженной по Гильберту действительной части.

При представлении а(t) и а1(t) в форме выражений (3.70), (3.71) аналитический сигнал можно записать следующим образом:


где


представляет собой комплексную огибающую узкополосного сигнала. Модуль комплексной огибающей, равный A(t) [поскольку |ei[θ(t) + θ0]| = 1 при любом законе изменения θ(t)], содержит информацию только об амплитудной модуляции колебания, а фазовый множитель еiθ(t) - только об угловой модуляции. В целом же произведение А(t)еiθ(t) содержит полную информацию о сигнале а(t) (за исключением несущей частоты ω0, которая предполагается известной).

Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе узкополосных сигналов исключать из рассмотрения частоту ω0, придает важное значение понятию "аналитический сигнал".

Рассмотрим основные свойства аналитического сигнала и комплексной огибающей.

1. Произведение аналитического сигнала za(t) на сопряженный ему сигнал z*a(t) равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала a(t).

Действительно,


Таким образом, модуль аналитического сигнала za(t) равен просто огибающей сигнала

2. Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты.

Из выражения


вытекает, что спектральная плотность Z(ω) аналитического сигнала za(t) определяется суммой


Но согласно (3.68), (3.69) при а при Следовательно,


Так, например, если узкополосному сигналу а(t) соответствует спектральная плотность Sa(ω), модуль которой изображен на рис. 3.25 штриховой линией, то аналитическому сигналу za(t) = а(t) + ia1(t) соответствуют спектральная плотность Za(ω), модуль которой изображен на том же рисунке сплошной линией.

Рис. 3.25. Соотношение между спектрами физического и аналитического сигналов
Рис. 3.25. Соотношение между спектрами физического и аналитического сигналов

Интеграл Фурье для аналитического сигнала za(t) принимает* следующий вид:


* (Отсюда проясняется смысл термина "аналитический сигнал". Действительно, при переходе к комплексному t интеграл (3.91) сходится в верхней полуплоскости и является аналитической функцией при Im t > 0, поскольку при ω → ∞ множитель eiωImt обеспечивает сходимость. В случае же физического сигнала, содержащего как положительные, так и отрицательные частоты, множитель eiωImt бесконечно возрастает либо при ω → +∞, либо при ω → -∞.)

где Sa(ω) - спектральная плотность исходного (физического) сигнала a(t).

3. Спектральная плотность комплексной огибающей А(t) совпадает со смещенной на величину ω0 влево спектральной плотностью аналитического сигнала za(t).

Основываясь на общей формуле (2.48), можем написать


Подставляя в это выражение za(t) = A(t)е0t, получаем


Это соотношение является обобщением формулы (2.58) на случай комплексной функции времени А(t), умножаемой на е0t (вместо cos ω0t в § 2.7, п. 3). Выражение (3.9), выведенное для вещественной огибающей А(t) (при чисто амплитудной модуляции), является частным случаем общего выражения (3.92).

Вводя обозначение ω - ω0 = Ω, перепишем (3.92) в несколько иной форме


[см. формулу (3.90)].

Соотношение между спектрами SA(Ω) и Zа0 + Ω) иллюстрируется рис. 3.26.

Рис. 3.26. Соотношение между спектрами аналитического сигнала и комплексной огибающей исходного сигнала
Рис. 3.26. Соотношение между спектрами аналитического сигнала и комплексной огибающей исходного сигнала

Особо следует отметить, что спектр SA(Ω) комплексной огибающей А(t) не обязательно симметричен относительно нулевой частоты (см. рис. 3.26). Если спектр Sa(ω) физического колебания а(t) несимметричен относительно ω = ω0, как это может иметь место, например, при смешанной амплитудно-угловой модуляции (см. § 3.8), то и функция Za(ω) = 2Sa(ω), ω > 0, несимметрична; после сдвига Za(ω) на величину ω0 влево спектр комплексной огибающей Za(ω) будет несимметричен относительно частоты Ω = 0. Поскольку при таком сдвиге функция SA(Ω) отлична от нуля в области частот Ω < 0, комплексная функция А(t) не является аналитическим сигналом. Это объясняется тем, что действительная и мнимая части A(t) не являются функциями, сопряженными по Гильберту.

4. Корреляционная функция аналитического сигнала, определяемая выражением


связана с корреляционной функцией исходного физического сигнала (узкополосного)


соотношением


Действительно, подставив в (3.94) получим


В § 2.17 было установлено, что корреляционная функция физического сигнала зависит только от модуля его спектральной плотности. Так как модули спектров функций a(t) и а1(t) одинаковы (см. § 3.9), то первые два интеграла равны и суммируются, а вторые два взаимно уничтожаются из чего и следует соотношение (3.96). Подставив теперь в (3.94) и получим


откуда вытекает важное соотношение [см. (3.96)]


Входящий в выражение (3.98) интеграл есть корреляционная функция комплексной огибающей А(t). Поэтому выражение (3.98) можно переписать в форме


В частности, при τ = 0 получаем


Из этого выражения видно, что поскольку Ва(0) = Э, энергия аналитического сигнала равна удвоенной энергии исходного физического сигнала.

Следует указать, что применение понятия энергии к комплексной функции имеет не только формальный смысл. В гл. 12 будет показано, что в некоторых устройствах обработки сигналов приходится иметь дело с совокупностью двух функций времени, сопряженных по Гильберту, т. е. с аналитическим сигналом как с физическим процессом.

Преимущества аналитического сигнала при анализе узкополосных процессов будут видны из дальнейших глав.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'