Глава 4. Основные характеристики случайных сигналов

4.1. Общие определения случайных процессов

Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая в результате измерения, заключена в сигнале.

До приема сообщения (до испытания) сигнал следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после приема сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени.

Важной, но не исчерпывающей характеристикой случайного процесса является присущий ему одномерный закон распределения вероятностей. На рис. 4.1 изображена совокупность функций х₁(t), х₂(t), ..., образующих случайный процесс X(t). Значения, которые могут принимать отдельные функции в момент времени t = t₁, образуют совокупность случайных величин х₁(t₁), x₂(t₁), ...

Рис. 4.1. Совокупность функций, образующих случайный процесс

Вероятность того, что величина x_k(t₁) при измерении попадает в какой-либо заданный интервал (а, b) (рис. 4.1), определяется выражением

Функция р(x; t₁) представляет собой дифференциальный закон распределения для случайной величины х(t₁); р(х; t₁) называется одномерной плотностью вероятности, а P_t1 - интегральной вероятностью.

Функция р(х; t₁) имеет смысл для случайных х непрерывного типа, могущих принимать любое значение в некотором интервале. При любом характере функции р(х; t₁) должно выполняться равенство

где x_мин и x_макс - границы возможных значений х(t₁).

Если же х является случайной величиной дискретного типа и может принимать лишь одно из конечного числа дискретных значений, то (4.2) следует заменить суммой

где P_i - вероятность, соответствующая величине х_i.

Задание одномерной плотности вероятности р(х; t₁) позволяет произвести статистическое усреднение как самой величины х, так и любой функции f(х). Под статистическим усреднением подразумевается усреднение х по множеству (по ансамблю) в каком-либо "сечении" процесса, т. е. в фиксированный момент времени.

Для практических приложений наибольшее значение имеют следующие параметры случайного процесса:

- среднее значение (математическое ожидание, первый момент)

- средний квадрат (второй момент)

- средний квадрат флуктуации (дисперсия)

В выражениях (4.3)-(4.5) угловые скобки означают операцию усреднения по множеству (ансамблю).

Одномерная плотность вероятности недостаточна для полной характеристики случайного процесса, так как она дает вероятностное представление о случайном процессе X(t) только в отдельные фиксированные моменты времени. Более полной характеристикой является двумерная плотность вероятности^* р(х₁, х₂; t₁, t₂), позволяющая учитывать связь значений х₁ и х₂, принимаемых случайной функцией в произвольно выбранные моменты времени t₁ и t₂.

^* (Здесь и в дальнейшем одной и той же буквой p обозначаются плотности вероятности различных случайных функций. В некоторых разделах, если это необходимо для устранения путаницы, будут применяться индексы, уточняющие параметр, к которому относится данное распределение. Например, при рассмотрении случайного процесса x(t) = A(t) cos θ(t) будут применяться обозначения p_x(x), p_A(A) и p_θ(θ).)

Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является n-мерная плотность вероятности при достаточно больших n. Однако большое число задач, связанных с описанием случайных сигналов, удается решать на основе двумерной плотности вероятности.

Задание двумерной плотности вероятности р(х₁, х₂; t₁, t₂) позволяет, в частности, определить важную характеристику случайного процесса - корреляционную функцию (второй смешанный момент)

Согласно этому определению корреляционная функция случайного процесса X(t) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции X(t) в моменты t₁ и t₂.

Для каждой реализации случайного процесса произведение х(t₁) х(t₂) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плотностью вероятности р(х₁, х₂; t₁, t₂). При заданной функции р(х₁, х₂; t₁, t₂) операция усреднения по множеству, обозначенная в выражении (4.6) угловыми скобками, осуществляется по формуле

При t₂ = t₁ двумерная случайная величина х₁х₂ вырождается в одномерную величину Можно поэтому в соответствии с выражением (4.4) написать

Таким образом, при нулевом интервале между моментами времени t₁ и t₂ корреляционная функция определяет величину среднего квадрата случайного процесса в момент t = t₁.

Исследование случайного процесса, а также воздействия его на радиоцепи существенно упрощается при его стационарности.

Случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность вероятности р(х₁, х₂, ..., х_n; t₁, t₂, ..., t_n) произвольного порядка n зависит только от интервалов t₂-t₁, t₃-t₁, t_n-t₁ и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.

В радиотехнических приложениях теории случайных процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности (случайный процесс, стационарный в широком смысле.) Выполнение этого условия позволяет считать, что среднее значение (первый момент), средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от самих моментов времени t₁ и t₂, а только от интервала между ними τ = t₂ - t₁.

Стационарность процесса в широком смысле можно трактовать как стационарность в рамках корреляционной теории (для моментов не выше второго порядка).

Таким образом, для случайного процесса, стационарного в широком смысле, выражения (4.3)-(4.5) и (4.7) можно записать без обозначения фиксированных моментов времени:

Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается при использовании условия эргодичности процесса. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если усреднение любой его вероятностной характеристики по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.

Условие эргодичности случайного процесса включает в себя и условие его стационарности. В соответствии с определением эргодического процесса соотношения (4.9)-(4.12) эквивалентны следующим выражениям, в которых операция усреднения по времени обозначена прямой чертой:

Если x(t) представляет собой электрический сигнал (ток, напряжение), то - постоянная составляющая случайного сигнала, - средняя мощность, σ_x² - средняя мощность флуктуации сигнала [относительно постоянной составляющей

Выражение (4.16) внешне совпадает с определением (2.134) корреляционной функции детерминированного сигнала (периодического). Непосредственно из (4.16) вытекает четность функции В_х(τ) относительно сдвига τ.

Очевидно также, что

т. е. значение корреляционной функции при τ = 0 равно полной средней мощности случайного сигнала.

При анализе случайных процессов часто основной интерес представляет его флуктуационная составляющая. В таких случаях применяется ковариационная функция

Наконец, вводится нормированная корреляционная функция

Функция R_x(τ) характеризует связь (корреляцию) между значениями разделенными промежутком τ. Чем медленнее, плавнее изменяется во времени х(t), тем больше промежуток τ, в пределах которого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайной функции.

При экспериментальном исследовании случайных процессов используются временные корреляционные характеристики процесса (4.13)-(4.19), поскольку, как правило, экспериментатору доступно наблюдение одной реализации сигнала, а не множества его реализаций. Интегрирование выполняется, естественно, не в бесконечных пределах, а на конечном интервале Т, длина которого должна быть тем больше, чем выше требование к точности результатов измерения.