4.3. Спектральная плотность мощности случайного процесса

Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) реализаций, необходимо иметь в виду, что реализациям, обладающим различной формой, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности, введенной в § 2.6 или § 2.12, по всем реализациям приводит к нулевому спектру процесса (при х¯ = 0) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной функции, поскольку величина среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией х(t) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте ω. Введенную таким образом спектральную плотность W(ω) в дальнейшем будем называть энергетическим спектром функции x(t). Смысл такого названия определяется размерностью функции W(ω), являющейся отношением мощности к полосе частот:

Энергетический спектр можно найти, если известен механизм образования случайного процесса. Применительно к шумам, связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта задача будет рассмотрена в § 7.2. Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего характера.

Выделив из ансамбля какую-либо реализацию x_k(t) и ограничив ее длительность конечным интервалом Т, можно применить к ней обычное преобразование Фурье и найти спектральную плотность Х_kT(ω). Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью формулы (2.66):

Разделив эту энергию на T, получим среднюю мощность k-й реализации на отрезке Т:

При увеличении Т энергия Э_kT возрастает, однако отношение Э_kT/Т стремится к некоторому пределу. Для перехода к стационарному случайному процессу необходимо длительность Т каждой реализации устремить к бесконечности. При этом возникает формальная трудность, связанная с тем, что преобразование Фурье существует только для сигналов с конечной энергией (условие абсолютной интегрируемости сигнала). Это препятствие можно обойти с помощью различных приемов [8]. В данном случае ограничимся наложением условия, что Т сколь угодно велико, но конечно. Имея в виду это условие, запишем последнее выражение для средней мощности k-й реализации в форме

где

представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматриваемой k-й реализации (при достаточно большом Т).

В общем случае величина W_k(ω) должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что найденная усреднением по одной реализации функция W_k(ω) характеризует весь процесс в целом. Опуская индекс k, получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса:

Если рассматривается случайный процесс с ненулевым средним значением х(t), то энергетический спектр следует представлять в форме

где - сплошная часть спектра, соответствующая флуктуационной составляющей х, а δ(ω) - дельта-функция.

При интегрировании по первое слагаемое в правой части дает т. е. мощность постоянной составляющей, а второе - мощность флуктуационной составляющей, т. е. дисперсию

Для процесса с нулевым средним

Из определения энергетического спектра (4.33) очевидно, что W(ω) является четной и неотрицательной функцией ω.