4.6. Узкополосный случайный процесс

Краткое описание свойств нормального шума, сформированного из белого шума вырезанием относительно узкой полосы частот, было дано в § 4.4. Там, отмечалось, что каждая из реализаций подобного случайного процесса имеет вид почти гармонического колебания

все параметры которого - огибающая А(t), фаза θ(t) и частота ω(t) - являются случайными, медленно меняющимися функциями времени.

При представлении шума в форме (4.60) предполагается, что огибающая А(t) отвечает соотношению

где y(t) - функция, сопряженная по Гильберту исходной функции х(t) (см. § 3.9), а ω₀ выбрана таким образом, что не содержит слагаемого, линейно зависящего от t.

Дальнейшее рассмотрение основано на допущении, что энергетический спектр шума х(t) сконцентрирован в узкой по сравнению с величиной ω₀ полосе, причем функция W_x(ω) в указанной полосе симметрична относительно точки ω₀ (рис. 4.13, а).

Рис. 4.13. Энергетические спектры: а - узкополосного процесса с центральной частотой ω₀; б - косинусной составляющей комплексной огибающей

Рассмотрим стационарный эргодический процесс с нормальным законом распределения вероятностей. Здесь необходимо подчеркнуть, что указанное распределение характеризует физическое колебание х(t), т. е. мгновенное значение колебания (в любой момент времени t). Параметры же колебания: А(t), θ(t) и ω(t) = dψ/dt - обладают законами распределения, существенно отличающимися от нормального^*. Для полного описания свойств узкополосного процесса требуется знание законов распределения, а также корреляционных функций всех, параметров колебания.

^* (Это вытекает из нелинейного характера зависимости параметров А, θ и ω от x и y.)

1. Огибающая

Представим высокочастотное колебание х(t), определяемое выражением (4.60), в виде суммы двух квадратурных колебаний:

Здесь, как и в § 3.5,

представляют собой амплитуды соответственно косинусной и синусной составляющих колебания х(t), причем

Для отыскания плотности вероятности р_А(А) и р_θ(θ) требуется знание соответствующих плотностей р(А_с) и р(A_s), а также совместной плотности вероятности р(А_с, A_s).

Плотности р(A_с) и р(A_s) можно определить, сопоставив случайную функцию А_с(t) [или А_s(t)] с функцией х(t):

Отличие А_с(t) от х(t) заключается в исключении слагаемого ω₀t из аргумента косинуса. Как и в случае детерминированного колебания, это означает сдвиг спектра каждой из реализаций случайного процесса на величину ω₀ (в направлении к нулевой частоте, при сохранении структуры спектра). При этом сохраняется и закон распределения случайной функции х(t). Поэтому, если процесс х(t) нормальный, то и процесс А_с(t) нормальный (оба процесса с нулевым средним).

Энергетический спектр W_Ac(Ω) случайной функции А_с(t) можно получить из энергетического спектра функции х(t) сдвигом на ω₀ левого лепестка и на - ω₀ правого лепестка спектра W_x(ω) (рис. 4.13).

В результате получается энергетический спектр

группирующийся вблизи нулевой частоты. Коэффициент 2 учитывает^* сложение мощностей, приходящихся на оба лепестка W_x(ω).

^* (В случае детерминированного АМ колебания (рис.3.9) при переходе от спектра S_a(ω) к спектру S_А(ω) удваивается спектральная плотность напряжения (или тока), что приводит к учетверению спектральной плотности энергии, пропорциональной S_А²(ω). В данном случае мощность всего лишь удваивается из-за некогерентного суммирования энергетических спектров от обоих лепестков W_x(ω).)

Аналогичные рассуждения используем для случайного процесса A_s(t) и его энергетического спектра

Из этого выражения и рис. 4.13 вытекает, что площадь под кривой W_x(ω) (в двух лепестках) совпадает с площадью под кривой Следовательно, дисперсии случайных функций А_с(t), А_c²(t) и х(t) одинаковы:

При учете первого выражения (4.63), из которого вытекает равенство приходим к следующему выражению для среднего квадрата огибающей:

Итак, одномерные плотности вероятности случайных функций А_с(t) и A_s(t) можно определить выражениями

Кроме того, взаимная корреляция между функциями А_с(t) и A_s(t) равна нулю при τ = 0. Действительно, возводя выражение (4.60') в квадрат и усредняя по множеству, получаем

Но левая часть этого выражения равна кроме того, является взаимнокорреляционной функцией случайных процессов А_с(t) и A_s(t) при τ = 0. Следовательно, предыдущее равенство приводится к виду

из которого вытекает, что B_AcAs(0) = 0 [поскольку процессы х(t) и А_с(t) стационарны, равенство (4.67) должно выполняться в любой момент времени].

Итак, А_с(t) и A_s(t), отсчитываемые в один и тот же момент времени, - независимые величины^*. Поэтому совместную плотность вероятности р(A_c, A_s) можно определить выражением

^* (Это положение вытекает также из соотношения (4.65), показывающего, что средний квадрат огибающей А(t), т. е. σ_А², является аддитивной суммой средних квадратов функций А_с(t) и A_s(t).)

Вероятность того, что конец вектора A(t) лежит в элементарном прямоугольнике dA_cdA_s (рис. 4.14) равна произведению вероятностей пребывания А_с в интервале dA_c и A_s в интервале dA_s:

Рис. 4.14. К определению двумерной плотности вероятности квадратурных составляющих комплексной огибающей узкополосного процесса

При переходе от прямоугольных координат к полярным площадь заштрихованного на рис. 4.15 элемента будет AdθdA, а вероятность пребывания конца вектора в этом элементе равна

Рис. 4.15. К определению двумерной плотности вероятностей модуля и аргумента комплексной огибающей

Из этого выражения следует, что двумерная плотность

Интегрируя по переменной θ, получаем одномерную плотность

Обоснование пределов интеграла приводится в следующем пункте данного параграфа.

Распределение огибающей, характеризуемое этой плотностью вероятности, называется распределением Релея (рис. 4.16). Максимальное значение функции р_А(А) получается при А = σ_х. Это означает, что А = σ_х является наивероятнейшим значением огибающей.

Рис. 4.16. Плотность вероятности релеевского распределения

Среднее же значение (математическое ожидание) огибающей

Аналогично средний квадрат огибающей

Этот результат совпадает с (4.65).

Таким образом, средняя мощность огибающей равна удвоенной дисперсии шума. Это аналогично соотношению между квадратом амплитуды А₀ и средней мощностью гармонического колебания a(t) = А₀cos ω₀t, равной

Вероятность того, что огибающая A(t) превысит некоторый заданный уровень С, определяется формулой

а вероятность того, что огибающая A(t) будет ниже уровня С, - формулой

Из этих формул видно, что уже при вероятность превышения уровня С составляет всего лишь ~1%. Поэтому можно считать, что ширина шумовой дорожки, фактически наблюдаемой, например, на экране осциллографа (рис. 4.17), не превышает (5-6) σ_х.

Рис. 4.17. Ширина шумовой дорожки узкополосного нормального шума при вероятности превышения границ ~1%

Этот результат, естественно, близок к данным, приведенным в § 4.2 для шумовой дорожки широкополосного нормального процесса (со спектром примыкающим к нулевой частоте).

Корреляционная функция огибающей узкополосного нормального шума [6] определяется по формуле, которую приводим без вывода:

Здесь R₀(τ) представляет собой огибающую нормированной корреляционной функции шума х(t), т. е. функции, определяемой выражением (при

Так как R₀ ≤ 1, то ряд (4.75) быстро сходится. Поэтому можно ограничиться первыми двумя членами:

Применяя к В_А(τ) преобразование Фурье [см. (4.38)], находим энергетический спектр огибающей

Из выражения (4.78) видно, что энергетический спектр огибающей примыкает к нулевой частоте. Первое слагаемое в правой части (4.78) соответствует постоянной составляющей огибающей, а второе - сплошной части спектра.

Примеры применения формул (4.75)-(4.78) приводятся в § 11.3-11.5.

2. Фаза

Интегрирование двумерной плотности р(А, θ), определяемой выражением (4.69), по переменной А дает одномерную плотность вероятности фазы

Этот результат согласуется с пределами интегрирования в (4.70).

Заметим, что из представления р(A, θ) [см. (4.69)] в виде произведения

непосредственно вытекает независимость случайных величин A и θ. Как и в отношении A_с(t) и A_s(t), это справедливо при отсчете A(t) и θ(t) в один и тот же момент времени [см. замечание к (4.67)].

Соотношения (4.70) и (4.79) позволяют сделать следующее общее заключение: произведение вида х = A cos θ, в котором A и θ - независимые случайные величины, причем A распределена по Релею, а θ - равновероятна в интервале (-π, π), обладает нормальной плотностью вероятности.

Условие узкополосности процесса х(t) не обязательно; необходимо лишь, чтобы A и θ были связаны соотношениями (4.63).

Корреляционная функция фазы θ(t) определяется выражением [6]

При τ = 0 ряд сходится к π²/3, т. е. дисперсия фазы равна π²/3. Действительно, при распределении (4.79)

3. Частота

Основываясь на выражении (4.60), мгновенную частоту шума можно записать в форме

откуда видно, что закон распределения мгновенной частоты определяется распределением производной фазы θ.

Приведем без вывода [6, 7] выражение для плотности вероятности случайной величины θ

где Δω_экв - эквивалентная ширина спектра узкополосного процесса, определяемая выражением

Последнее выражение эквивалентно формуле

где R₀(τ) - огибающая нормированной корреляционной функции процесса, обладающего энергетическим спектром W(ω) [симметричным относительно центральной частоты ω₀].

График функции изображен на рис. 4.18. Среднее значение абсолютной величины равно Δω_экв.

Рис. 4.18. Плотность вероятности производной фазы нормального случайного процесса

Рассмотрим в качестве примера случай, когда энергетический спектр W(ω) равномерен в полосе частот ±Δω при центральной частоте ω₀.

Нормированная корреляционная функция в соответствии с выражением (4.44)

а

Дважды дифференцируя последнее выражение по τ, находим

При получаем

и

Итак, в случае шума с энергетическим спектром, равномерным в полосе (-Δω₀, Δω₀) (см. рис. 4.9), среднее значение величины равно