5.10. Устойчивость линейных активных цепей с обратной связью. Алгебраический критерий устойчивости

В реальной цепи, охваченной обратной связью, всегда имеются реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже в усилителе на резисторах имеются такие элементы (паразитные емкости схемы и усилительных приборов, индуктивности проводов и т. д.). Реактивные элементы создают дополнительные фазовые сдвиги. Если на какой-либо частоте эти сдвиги дают в сумме дополнительный угол в 180°, то обратная связь из отрицательной превращается в положительную и создаются условия, при которых возникает паразитная генерация.

Это обстоятельство во многих случаях существенно ограничивает эффективность применения обратной связи, так как при больших значениях |К_eК_ОС|, Для устранения паразитной генерации требуются специальные фазокомпенсаторы и другие устройства для уменьшения крутизны фазовой характеристики в кольце обратной связи. Однако часто оказывается, что введение в схему новых элементов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной генерации в область очень низких или очень высоких частот.

Итак, применение обратной связи тесно связано с проблемой обеспечения устойчивости цепи.

Для правильного построения цепи и выбора ее параметров большое значение приобретают методы определения устойчивости цепи. В настоящее время известно несколько критериев, различающихся больше по форме, нежели по существу. В основе большинства этих критериев лежит критерий устойчивости решений дифференциального уравнения, описывающего исследуемую цепь.

Пусть линейное однородное уравнение для цепи с сосредоточенными (и постоянными) параметрами задано в форме

где x - ток, напряжение и т. д., а постоянные коэффициенты b₀, b₁, b₂, ..., b_n - действительные числа, зависящие от параметров цепи.

Решение уравнения (5.85), как известно, имеет вид

где A_i - постоянные, а p_i - корни характеристического уравнения

Условие устойчивости состояния покоя цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя свободные (переходные) токи и напряжения были затухающими. А это, в свою очередь, означает, что корни р₁, р₂, ..., р_n уравнения (5.86) должны быть либо отрицательными действительными величинами, либо комплексными величинами с отрицательными действительными частями. Из этих простых физических представлений вытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем^*: система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Заметим, что левая часть характеристического уравнения (5.86) представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функции цепи, записанной в форме

^* (Это фундаментальное положение было обосновано А. М. Ляпуновым, который в 90-х годах прошлого века заложил основы теории устойчивости. Рассматриваемый вопрос об устойчивости состояния покоя системы является частным случаем общей теории устойчивости Ляпунова. )

Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передаточной функции К(р) этой цепи.

Отсюда следует, что сформулированные выше условия отрицательности действительных частей корней равносильны следующему положению: для устойчивости цепи необходимо, чтобы передаточная функция К(р) не имела полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной р.

Это хорошо известное из теории цепей положение можно распространить и на передаточную функцию К₀(р) цепи с обратной связью.

Поясним это на примере резонансного усилителя с обратной связью (рис. 5.27).

Рис. 5.27. К примеру определения устойчивости усилителя с обратной связью

Передаточную функцию (по напряжению) усилителя определим по формуле (5.60) при допущении, что G_i << G_H:

а передаточную функцию обратной связи приравняем Заменяя iω на р, приведем К_у(iω) к виду

где обозначено Тогда передаточная функция усилителя, охваченного обратной связью,

Находим корни уравнения

Рассмотрим два возможных случая: отрицательной и положительной обратной связи.

Для создания отрицательной обратной связи произведение К_уК_ОС должно быть отрицательной величиной.

Поскольку К_у(iω) при ω = ω₀, т. е. при резонансе, является отрицательной величиной, то коэффициент К_ОС должен быть положительной величиной: К_ОС = + M/L. При этом действительные части обоих корней р₁ и р₂

- отрицательны при любом значении М.

При положительной обратной связи К_ОС = - M/L;

Итак, при отрицательной обратной связи рассматриваемая цепь устойчива при любой величине М, а при положительной обратной связи только при выполнении условия

где К_{у макс} ≈ S R_ш = S/G_ш - коэффициент усиления на резонансной частоте [см. (5.68)].

В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корней характеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивости системы, является сложной задачей.

Оказывается, что эту же задачу можно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения без определения самих корней уравнения. Это можно выполнить с помощью теоремы Гурвица^*, которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения

^* (Доказательство этой теоремы см., например, в книге Курош А. Г. Курс высшей алгебры, М., ГИФМЛ, 1972.)

с действительными коэффициентами и b₀ > 0 были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители Δ₁, Δ₂, ... Δ_m, составленные из коэффициентов уравнения b₀, b₁, ... b_n, по следующей схеме:

Сформулированный алгебраический критерий устойчивости часто называют критерием Рауса - Гурвица. При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения, заменяются пулями.

Поэтому, например, для уравнения четвертой степени получаются следующие определители:

Нетрудно видеть, что все последовательные определители являются главными диагональными минорами определителя Δ_m. Так как последний столбец определителя Δ_m содержит лишь один отличный от нуля элемент b_m, расположенный на главной диагонали, то выполняется равенство

Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия устойчивости можно сформулировать в виде следующих неравенств:

Так, например, для характеристического уравнения второй степени получаем

для уравнения третьей степени

т. е. Так как b₀, b₁ и b₃ положительны, то и b₂ > 0.

Для уравнения четвертой степени

Из условия III на основании условий IV и I вытекает неравенство

Поэтому второе условие можно заменить условием b₃ > 0. Таким образом, для уравнения четвертой степени получаются следующие условия устойчивости:

Поясним применение критерия Рауса - Гурвица на простом примере рассмотренного резонансного усилителя с обратной связью (рис. 5.27). Характеристическое уравнение этой цепи при К_ОС = M/L (отрицательная обратная связь)

Сформулированные для уравнения второй степени условия устойчивости (5.89) в данном случае принимают вид

Первое условие выполняется при любой величине М, а второе - от М не зависит.

При положительной обратной связи (К_ОС = - M/L) цепь устойчива при выполнении условия 2α_к - (M/L)(S/C) > 0, совпадающего с (5.88).

Критерий Рауса - Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданными параметрами (т. е. коэффициентами дифференциального уравнения). Однако им неудобно пользоваться при экспериментах, так как обычно бывают известны не коэффициенты уравнения, а передаточная функция разомкнутой цепи К_у(р)К_ОС(р). Кроме того, критерий Рауса - Гурвица не дает ясных указаний, как неустойчивую цепь сделать устойчивой.