НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

5.11. Частотные критерии устойчивости

Требование, чтобы передаточная функция


не имела полюсов в правой полуплоскости р = σ + iω, т. е. в области, ограниченной полуокружностью бесконечно большого радиуса R и осью iω (рис. 5.28, а), равносильно* условию, что знаменатель выражения (5.92) не должен иметь нулей в указанной области или, что то же самое, функция

* (Предполагается, что прямой усилитель устойчив, т. е. Ку(р) не имеет полюсов в правой полуплоскости р.)


не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р. Но Н(р) представляет собой передаточную функцию разомкнутого кольца обратной связи, т. е. отношение напряжения на зажимах 2-2 к напряжению на зажимах 1-1 при разомкнутом кольце, как это показано на рис. 5.29. Следовательно, об устойчивости системы с обратной связью можно судить по характеристикам разомкнутого тракта.

Рис. 5.28. Замкнутый контур на р-плоскости (а) и годограф функции Н(iw) на плоскости u+iv (б)
Рис. 5.28. Замкнутый контур на р-плоскости (а) и годограф функции Н(iω) на плоскости u+iv (б)

Рис. 5.29. К определению передаточной функции разомкнутого тракта усилитель - четырехполюсник обратной связи
Рис. 5.29. К определению передаточной функции разомкнутого тракта усилитель - четырехполюсник обратной связи

Для дальнейшего анализа целесообразно перейти от плоскости р = σ + iω к плоскости Н(р) = u + iv (рис. 5.28, б).

Каждой точке р из плоскости σ, iω соответствует определенное значение Н на плоскости u, iv. Любой замкнутый контур на плоскости р преобразуется с помощью выражения (5.93) в некоторый (также замкнутый) контур на плоскости Н.

Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура на рис. 5.28, а, соответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции Н.

Показанный на рис. 5.28, а контур С можно разбить на два участка: 1) прямая iω при изменении ω от ∞ до -∞ и 2) полуокружность бесконечно большого радиуса R.

На первом участке, где σ = 0, р = iω, функция Н(р) обращается в функцию Н(iω). В соответствии с выражением (5.93) этот участок преобразуется на плоскости Н в линию, определяемую следующим соотношением:


откуда


В этих выражениях φу и φос - аргументы передаточных функций соответственно четырехполюсников Ку(iω) и КОС(ω).

На втором участке контура С (рис. 5.28, а) при R → ∞ функция*Н(р) → 0. Это вытекает из общего выражения (5.87), которое можно записать в форме


* (имеются в виду наиболее распространенные в практике четырехполюсники с передаточной функцией, у которой степень числителя n меньше степени знаменателя m.)

где В - постоянный коэффициент, а poi и pпj - соответственно нули и полюса функции К(р). При |р| → ∞ величинами poi и pпj можно пренебречь и функцию К(р) можно представить в виде Вр(n-m). Совершенно аналогично и функцию Н(р) при р → ∞ можно представить в форме


где n и m - числа соответственно [нулей и полюсов функции Н(р).

При n < m и |р| → ∞ модуль функции Н(р) на полуокружности R → ∞ равен нулю. Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости р преобразуется в точку, лежащую в начале координат на плоскости Н, и для построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточно знать поведение Н(р) на оси iω, т. е. знать амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики цепи Ку(iω) Кос(iω).

Обходу контура С в положительном направлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа Н при изменении частоты от ∞ до -∞.

Вся правая полуплоскость р преобразуется на плоскости Н во внутреннюю область годографа. Следовательно, если годограф передаточной функции разомкнутого тракта не охватывает точку 1, i0, то при замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае система неустойчива.

Это условие называется критерием устойчивости Найквиста.

Показанная на рис. 5.28, б диаграмма соответствует устойчивой системе. Это видно из того, что годограф Н не охватывает точку 1, i0. Сплошной линией показана часть контура, соответствующая положительным частотам 0 > ω > ∞, а штриховой кривой - отрицательным частотам. Так как функция u(ω) четная, а v(ω) нечетная относительно со, то оба участка годографа симметричны относительно действительной оси.

Следует также отметить, что рис. 5.28, б построен для случая, когда при ω = 0 передаточная функция Н(iω) отлична от нуля (это возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых отсутствуют разделительные конденсаторы).

При сложной схеме цепи форма годографа иногда бывает настолько усложненной, что по ней трудно судить о том, охватывается или не охватывается годографом точка 1, i0. В подобных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий из критерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересечений оси u(ω) на участке 1, ∞. Для устойчивости цепи необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (как на рис. 5.28, б), либо пересекал его в положительном и отрицательном направлениях одинаковое число раз.

Критерий Найквиста получил наибольшее распространение в радиоэлектронике, автоматике и других смежных областях. Основное его преимущество: удобство оперирования с амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками разомкнутой цепи. В некоторых системах, например, содержащих линии, этот метод по существу является единственно приемлемым.

Вместо полярных диаграмм (годографов), изображенных на рис. 5.38, при применении критерия Найквиста можно использовать обычные амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики разомкнутой цепи.

Действительно, длина вектора Н(iω), как это ясно из выражения (5.94), есть не что иное, как модуль коэффициента передачи разомкнутой цепи КуКОС, т. е. частотная характеристика этой цепи, а аргумент φН (рис. 5.30), равный


есть фазовая характеристика цепи КуКОС.

Совместив на общем графике амплитудно-частотную и фазовую характеристики, нетрудно ответить на вопрос об устойчивости цепи.

Если при изменении ω от 0 до ∞ фаза φН и не достигает величины n 2π, где n - целое число, то замкнутая цепь устойчива при любой величине КуКОС. С другой стороны, если КуКОС при любой частоте меньше единицы, то цепь устойчива при любой фазовой характеристике. Цепь неустойчива, если имеются частоты, при которых одновременно выполняются два условия:


По существу эти два условия необходимы для обращения в нуль знаменателя в выражении (5.78), определяющем передаточную функцию замкнутой цепи.

Пример амплитудно-частотной и фазовой характеристик устойчивой цепи с обратной связью показан на рис. 5.30, а неустойчивой - на рис. 5.31. В первом случае (рис. 5.30) на частоте ω0, соответствующей φу + φос = 2π, модуль Н < 1. Во втором же случае (рис. 5.31) ωг - частота паразитной генерации, На рис. 5.30 и 5.31 отложены абсолютные значения φу + φос. При учете знака реальных φу и φос наклон фазовых характеристик будет отрицательным.

Рис. 5.30. Пример АЧХ и ФЧХ устойчивого усилителя с обратной связью
Рис. 5.30. Пример АЧХ и ФЧХ устойчивого усилителя с обратной связью

Рис. 5.31. То же для неустойчивого усилителя
Рис. 5.31. То же для неустойчивого усилителя

При построении этих характеристик учтено, что при ω = 0 и ω = ∞ величина КуКОС обращается в нуль. При ω → 0 это обусловлено влиянием последовательно включенных конденсаторов в канале Ку или КОС, а при ω → ∞ - влиянием шунтирующих емкостей (межэлектродные емкости, емкость монтажа и т. д.). Полное изменение фазы при изменении ω от 0 до ∞ зависит от характера и числа звеньев в усилителе и в цепи обратной связи.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'