НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

7.3. Дифференцирование случайной функции

Пусть задан стационарный эргодический случайный процесс s(t) с энергетическим спектром Ws(ω) и корреляционной функцией Bs(τ) и требуется найти аналогичные характеристики для производной s(t). Не останавливаясь здесь на рассмотрении всех условий дифференцируемости случайной функции, ограничимся основным требованием: энергетический спектр Ws(ω) при ω → ∞ должен убывать быстрее, чем 1/ω2, так что


Это условие выполняется для большинства практических задач, так как энергетический спектр Ws(ω) формируется физической цепью, передаточная функция которой при ω → ∞ убывает быстрее, чем 1/ω (а ее квадрат модуля уменьшается быстрее, чем 1/ω2). Условию (7.27) не отвечает белый шум с бесконечно широким спектром, однако обычно рассматривается шум с ограниченным спектром.

Считая условие (7.27) выполненным, рассмотрим прохождение случайного сигнала s(t) через идеальную дифференцирующую цепь, передаточная функция которой К(iω) = iωτ0 [см. (6.17)].

Применяя выражения (7.1), (7.2), можем написать



Дисперсия процесса на выходе устройства


Рассмотрим следующий пример: пусть спектр процесса на входе дифференцирующего устройства равномерен в полосе частот -f1 ≤ f ≤ f1:


Корреляционная функция подобного процесса [см. (4.41)]


а дисперсия


Нормированная корреляционная функция


После дифференцирования соответственно получаем




где у(τ) - дробь в выражении для Ввых(τ).

Графики функций Ws(ω) и Wвых(ω), а также функций Rs(τ) и Rвых(ω) изображены на рис. 7.8, а и б; параметр Δω1τ0 приравнен единице. Из этих графиков видно, что дифференцирование приводит к ослаблению нижних частот исходного процесса. Относительное возрастание высших частот приводит к более четко выраженной осцилляции корреляционной функции (рис. 7.8, б).

Рис. 7.8. Энергетические спектры (а) и корреляционные функции (б) на входе и выходе дифференцирующей цепи: ____ на выходе идеальной цепи; --- на выходе RC-цепи
Рис. 7.8. Энергетические спектры (а) и корреляционные функции (б) на входе и выходе дифференцирующей цепи: ____ на выходе идеальной цепи; --- на выходе RC-цепи

Рассмотрим теперь прохождение того же случайного сигнала через реальное дифференцирующее устройство в виде RС-цепи (рис. 6.5, б). Квадрат передаточной функции дифференцирующей цепи в соответствии с (6.19)


Таким образом, энергетический спектр на выходе цепи


График Wвых(ω) для Δω1τ0 = 1 представлен на рис. 7.8, а штриховой линией.

Корреляционная функция


Результат вычисления нормированной корреляционной функции Rвых(τ) = Bвых(τ)/σ2вых представлен на рис. 7.8, б штриховой линией (для Δω1τ0 = 1).

Можно считать, что при Δω1τ0 ≤ 1 физическая RC-цепь осуществляет дифференцирование рассматриваемого случайного процесса, близкое к точному дифференцированию.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'