8.3. Воздействие гармонических колебаний на цепи с безынерционными нелинейными элементами [1977 Гоноровский И.С.

Основные свойства таких цепей можно выявить из анализа воздействия гармонических колебаний на резистивные элементы. В качестве такого элемента можно взять любой усилительный прибор с нелинейной вольт-амперной характеристикой.

Сначала рассмотрим режим работы, представленный на рис. 8.8, при котором напряжение сигнала e_s(t) не выходит за пределы точки U₁ и вольт-амперная характеристика i(u) удовлетворительно аппроксимируется степенным полиномом (8.8). Подставив в (8.8) u = е_s(t) = Е cos ω₁t, получим

Рис. 8.8. Слабо-нелинейный режим работы усилительного прибора

Из этого выражения видны следующие проявления нелинейности вольт-амперной характеристики при гармоническом воздействии:

- ток покоя i(U₀) получает приращение, обусловленное, коэффициентами а₂, а₄, ... при четных степенях полинома (8.8):

- амплитуда I₁ гармоники основной частоты ω₁ связана с амплитудой возбуждения Е нелинейным соотношением, обусловленным нечетными степенями полинома (8.8):

- ток i(t) содержит высшие гармоники с частотами nω₁, кратными частоте воздействия ω₁. Гармоники с частотами 2ω₁, 4ω₁, ... обусловлены четными степенями, а гармоники с частотами 3ω₁, 5ω₁, ... - нечетными степенями полинома (8.8).

Спектр тока при коэффициентах a₁ = 2мА/В, а₂ = 0,15 мА/В², а₃ = 0,03 мА/В³, i(U₀) = 10 мА и амплитуде Е = 5 В показан на рис. 8.9. В данном примере всеми слагаемыми со степенью выше второй в выражении (8.15) можно пренебречь.

Рис. 8.9. Спектр тока в режиме, представленном на рис. 8.8

Рассмотрим теперь работу того же нелинейного элемента в режиме существенно более нелинейном (рис. 8.10, а), получаемом при сдвиге рабочей точки U₀ влево и соответствующем увеличении амплитуды возбуждающего напряжения E. В данном случае целесообразно применить кусочно-линейную аппроксимацию волы амперной характеристики (см. § 8.2, комментарий к рис. 8.7, а).

Рис. 8.10. Существенно нелинейный режим работы усилительного прибора

При гармоническом возбуждении ток i(t) приобретает импульсную форму (рис. 8.10, б). Угол θ, соответствующий изменению тока от максимального значения I_m до нуля, получил название угла отсечки тока. Длительность импульсов тока равна 20 (рис. 8.10, б). Из рис. 8.10, а очевидно следующее выражение:

где а₁ - крутизна линейной части вольт-амперной характеристики [см. выражение (8.9)].

При гармоническом возбуждении нелинейного элемента форма импульса тока в пределах -θ < ωt < θ близка к отсеченной косинусоиде и. если пренебречь кривизной вольт-амперной характеристики на нижнем сгибе (рис. 8.10, а), мгновенное значение тока можно выразить уравнением

Символом

обозначено значение импульса, которое получилось бы при θ = π/2.

Так как амплитуда реального импульса I_m соответствует моменту ωt = 0, имеет место соотношение

Подставив это выражение в (8.21), получим окончательно

Основываясь на этом выражении нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье для периодической последовательности импульсов, представленной на рис. 8.11. Ввиду четности функции i(t) относительно t [см. (8.22)] ряд содержит одни лишь косинусоидальные члены. Применяя формулы (2.24) и (2.32), находим

Рис. 8.11. Импульсный ток, соответствующий режиму, представленному на рис. 8.10

Аналогично можно получить общее выражение для амплитуды n-й гармоники

называются коэффициентами, соответственно, постоянной составляющей, первой гармоники и т. д. (функции Берга).

Графики коэффициентов α₀, α₁, α₂, .... а также отношения γ = α₁/α₀ при изменении угла отсечки от θ = 0 до θ = 180° показаны на рис. 8.12. При θ = 0 ток вообще равен нулю (нелинейный элемент заперт на протяжении всего периода); при θ = 180° отсечка тока отсутствует и режим работы становится линейным. Спектр тока для нескольких значений угла отсечки представлен на рис. 8.13 (при I_m = 1).

Рис. 8.12. Коэффициенты разложения импульсного тока в ряд Фурье в зависимости от угла отсечки 0

Рис. 8.12. Коэффициенты разложения импульсного тока в ряд Фурье в зависимости от угла отсечки θ

Рис. 8.13. Спектры импульсного тока при нескольких значениях угла отсечки 0

Рис. 8.13. Спектры импульсного тока при нескольких значениях угла отсечки θ

Из рассмотрения графиков функций α_n(θ) и спектрограмм тока можно вывести важные заключения. Бросается в глаза, что при работе с углом отсечки меньше 180° отношение амплитуды первой гармоники I₁ к постоянной составляющей I₀ больше единицы, между тем как в линейном режиме это отношение много меньше единицы. Видно, что с уменьшением θ отношение

растет. Кроме того, с повышением номера гармоники максимумы функций α_n(θ) перемещаются в область малых значений θ. Все эти обстоятельства оказывают существенное влияние на выбор режима работы нелинейного элемента при усилении колебаний, умножении частоты и на ряд других преобразований, которые изучаются в последующих параграфах данной главы.

Рассмотрим теперь воздействие на нелинейный резистивный элемент бигармонического колебания

Для упрощения анализа ограничимся в данном параграфе рассмотрением слабо нелинейного режима (рис. 8.8), когда достаточно учитывать только линейный и квадратичный члены в полинома (8.8).

Подстановка (8.28) в ряд (8.8) приводит к следующим результатам:

Первое слагаемое, не зависящее от времени, определяет приращение постоянного тока. Слагаемые с частотами 2ω₁, и 2ω₂ представляют собой вторые гармоники от соответствующих компонентов входного сигнала. Слагаемые же с частотами ω₁ + ω₂ и ω₁ - ω₂ представляют комбинационные колебания.

В более общем случае, проделав аналогичные преобразования над кубическим слагаемым a₃e³_s(t), убедимся, что это слагаемое вносит в спектр: ω₁, ω₂ - основные частоты; 3ω₁, 3ω₂ - третьи гармоники;

- комбинационные частоты.

Продолжив подобный анализ для более высоких степеней ряда (8.8), можно показать, что при воздействии на нелинейное устройство бигармонического колебания в спектре на выходе нелинейности, описываемой полиномом k-й степени, могут присутствовать следующие частоты: ω = 0 - постоянная составляющая; ω = nω₁, n = 1, 2, ..., k, - гармоники частоты ω₂; ω = nω₂, n = 1, 2, ..., k, - гармоники частоты ω₂;

n = 1, 2, k и m = 1, 2, ..., k - комбинационные частоты (при условии, что n + m ≤ k).

Спектрограмма колебания на входе и выходе нелинейного элемента, описываемого полиномом второй степени (k = 2), изображена на рис. 8.14. Из рисунка видно, что взаимодействие двух гармонических колебаний с неодинаковыми частотами в нелинейном устройстве второй степени приводит к возникновению разностной |ω₁ - ω₂| и суммарной ω₁ + ω₂ частот (помимо гармоник 2ω₁ и 2ω₂). Для практического использования этих новых частот достаточно применять на выходе нелинейного элемента линейную избирательную цепь, выделяющую полезную составляющую спектра (рис. 8.14, а).

Рис. 8.14. Спектры колебания на входе и выходе квадратичного нелинейного элемента при бигармоническом воздействии с частотами w1 и w2: а - при близких частотах w1 и w2; б - при w1 w2

Рис. 8.14. Спектры колебания на входе и выходе квадратичного нелинейного элемента при бигармоническом воздействии с частотами ω₁ и ω₂: а - при близких частотах ω₁ и ω₂; б - при ω₁ << ω₂

Свойство квадратичного нелинейного элемента, позволяющее получить комбинационные частоты, широко применяется в радиотехнике для сдвига частоты сигнала.

В случае же

(рис. 8.14, б), когда комбинационные частоты

располагаются вблизи частоты ω₂ и все три частоты: ω₂, ω₂ + ω₁ и ω₂ - ω₁ могут быть выделены одним общим фильтром, можно получить спектр, соответствующий амплитудной модуляции колебания частоты ω₂ относительно низкой частотой ω₁. При нелинейности более высокого порядка (k > 2) можно осуществить выделение любой из частот вида

n + m ≤ k.

При более сложном составе входного спектра, содержащем частоты ω₁, ω₂, ω₃ ..., на выходе нелинейного элемента возникают частоты nω₁, nω₂, nω₃, ... и комбинационные частоты nω_i ± mω_k, где n и m - любые целые числа, а ω_i и ω_k - любая из пар частот входного спектра.

Нетрудно установить, что при любом сложном, но периодическом воздействии с основной частотой со на выходе нелинейного элемента имеет место также периодический процесс с основной частотой ω. Обогащение спектра в этом случае может произойти только за счет гармоник с частотами nω. Это объясняется тем, что в рассматриваемом частном случае все частоты выходного сигнала кратны частоте ω; следовательно, суммы и разности любых двух гармоник входного спектра также кратны ω.

Из приведенного ранее качественного рассмотрения видно, что простой резистивный нелинейный элемент в сочетании с избирательной линейной целью позволяет осуществить ряд преобразований, таких, как нелинейное резонансное усиление, умножение частоты колебания, выпрямление, детектирование модулированных колебаний, сдвиг частоты колебаний, амплитудная модуляция, и др. Этим вопросам посвящены § 8.4-8.12.

Воздействие гармонических колебаний на реактивные нелинейные элементы (емкость или индуктивность) рассматривается в гл. 10.



НОВОСТИ БИБЛИОТЕКА ССЫЛКИ О САЙТЕ

	Современная терраса: материалы и оборудование 8.3. Воздействие гармонических колебаний на цепи с безынерционными нелинейными элементами Основные свойства таких цепей можно выявить из анализа воздействия гармонических колебаний на резистивные элементы. В качестве такого элемента можно взять любой усилительный прибор с нелинейной вольт-амперной характеристикой. Сначала рассмотрим режим работы, представленный на рис. 8.8, при котором напряжение сигнала e_s(t) не выходит за пределы точки U₁ и вольт-амперная характеристика i(u) удовлетворительно аппроксимируется степенным полиномом (8.8). Подставив в (8.8) u = е_s(t) = Е cos ω₁t, получим Рис. 8.8. Слабо-нелинейный режим работы усилительного прибора Форма тока i(t) показана на рис. 8.8. С помощью тригонометрических соотношений выражение (8.15) приводим к виду Из этого выражения видны следующие проявления нелинейности вольт-амперной характеристики при гармоническом воздействии: - ток покоя i(U₀) получает приращение, обусловленное, коэффициентами а₂, а₄, ... при четных степенях полинома (8.8): - амплитуда I₁ гармоники основной частоты ω₁ связана с амплитудой возбуждения Е нелинейным соотношением, обусловленным нечетными степенями полинома (8.8): - ток i(t) содержит высшие гармоники с частотами nω₁, кратными частоте воздействия ω₁. Гармоники с частотами 2ω₁, 4ω₁, ... обусловлены четными степенями, а гармоники с частотами 3ω₁, 5ω₁, ... - нечетными степенями полинома (8.8). Спектр тока при коэффициентах a₁ = 2мА/В, а₂ = 0,15 мА/В², а₃ = 0,03 мА/В³, i(U₀) = 10 мА и амплитуде Е = 5 В показан на рис. 8.9. В данном примере всеми слагаемыми со степенью выше второй в выражении (8.15) можно пренебречь. Рис. 8.9. Спектр тока в режиме, представленном на рис. 8.8 Рассмотрим теперь работу того же нелинейного элемента в режиме существенно более нелинейном (рис. 8.10, а), получаемом при сдвиге рабочей точки U₀ влево и соответствующем увеличении амплитуды возбуждающего напряжения E. В данном случае целесообразно применить кусочно-линейную аппроксимацию волы амперной характеристики (см. § 8.2, комментарий к рис. 8.7, а). Рис. 8.10. Существенно нелинейный режим работы усилительного прибора При гармоническом возбуждении ток i(t) приобретает импульсную форму (рис. 8.10, б). Угол θ, соответствующий изменению тока от максимального значения I_m до нуля, получил название угла отсечки тока. Длительность импульсов тока равна 20 (рис. 8.10, б). Из рис. 8.10, а очевидно следующее выражение: Амплитуда тока где а₁ - крутизна линейной части вольт-амперной характеристики [см. выражение (8.9)]. При гармоническом возбуждении нелинейного элемента форма импульса тока в пределах -θ < ωt < θ близка к отсеченной косинусоиде и. если пренебречь кривизной вольт-амперной характеристики на нижнем сгибе (рис. 8.10, а), мгновенное значение тока можно выразить уравнением Символом обозначено значение импульса, которое получилось бы при θ = π/2. Так как амплитуда реального импульса I_m соответствует моменту ωt = 0, имеет место соотношение откуда Подставив это выражение в (8.21), получим окончательно Основываясь на этом выражении нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье для периодической последовательности импульсов, представленной на рис. 8.11. Ввиду четности функции i(t) относительно t [см. (8.22)] ряд содержит одни лишь косинусоидальные члены. Применяя формулы (2.24) и (2.32), находим Рис. 8.11. Импульсный ток, соответствующий режиму, представленному на рис. 8.10 Аналогично можно получить общее выражение для амплитуды n-й гармоники Отношения называются коэффициентами, соответственно, постоянной составляющей, первой гармоники и т. д. (функции Берга). Графики коэффициентов α₀, α₁, α₂, .... а также отношения γ = α₁/α₀ при изменении угла отсечки от θ = 0 до θ = 180° показаны на рис. 8.12. При θ = 0 ток вообще равен нулю (нелинейный элемент заперт на протяжении всего периода); при θ = 180° отсечка тока отсутствует и режим работы становится линейным. Спектр тока для нескольких значений угла отсечки представлен на рис. 8.13 (при I_m = 1). Рис. 8.12. Коэффициенты разложения импульсного тока в ряд Фурье в зависимости от угла отсечки θ Рис. 8.13. Спектры импульсного тока при нескольких значениях угла отсечки θ Из рассмотрения графиков функций α_n(θ) и спектрограмм тока можно вывести важные заключения. Бросается в глаза, что при работе с углом отсечки меньше 180° отношение амплитуды первой гармоники I₁ к постоянной составляющей I₀ больше единицы, между тем как в линейном режиме это отношение много меньше единицы. Видно, что с уменьшением θ отношение растет. Кроме того, с повышением номера гармоники максимумы функций α_n(θ) перемещаются в область малых значений θ. Все эти обстоятельства оказывают существенное влияние на выбор режима работы нелинейного элемента при усилении колебаний, умножении частоты и на ряд других преобразований, которые изучаются в последующих параграфах данной главы. Рассмотрим теперь воздействие на нелинейный резистивный элемент бигармонического колебания Для упрощения анализа ограничимся в данном параграфе рассмотрением слабо нелинейного режима (рис. 8.8), когда достаточно учитывать только линейный и квадратичный члены в полинома (8.8). Подстановка (8.28) в ряд (8.8) приводит к следующим результатам: - для линейного члена ряда для квадратичного члена ряда Первое слагаемое, не зависящее от времени, определяет приращение постоянного тока. Слагаемые с частотами 2ω₁, и 2ω₂ представляют собой вторые гармоники от соответствующих компонентов входного сигнала. Слагаемые же с частотами ω₁ + ω₂ и ω₁ - ω₂ представляют комбинационные колебания. В более общем случае, проделав аналогичные преобразования над кубическим слагаемым a₃e³_s(t), убедимся, что это слагаемое вносит в спектр: ω₁, ω₂ - основные частоты; 3ω₁, 3ω₂ - третьи гармоники; - комбинационные частоты. Продолжив подобный анализ для более высоких степеней ряда (8.8), можно показать, что при воздействии на нелинейное устройство бигармонического колебания в спектре на выходе нелинейности, описываемой полиномом k-й степени, могут присутствовать следующие частоты: ω = 0 - постоянная составляющая; ω = nω₁, n = 1, 2, ..., k, - гармоники частоты ω₂; ω = nω₂, n = 1, 2, ..., k, - гармоники частоты ω₂; n = 1, 2, k и m = 1, 2, ..., k - комбинационные частоты (при условии, что n + m ≤ k). Спектрограмма колебания на входе и выходе нелинейного элемента, описываемого полиномом второй степени (k = 2), изображена на рис. 8.14. Из рисунка видно, что взаимодействие двух гармонических колебаний с неодинаковыми частотами в нелинейном устройстве второй степени приводит к возникновению разностной \|ω₁ - ω₂\| и суммарной ω₁ + ω₂ частот (помимо гармоник 2ω₁ и 2ω₂). Для практического использования этих новых частот достаточно применять на выходе нелинейного элемента линейную избирательную цепь, выделяющую полезную составляющую спектра (рис. 8.14, а). Рис. 8.14. Спектры колебания на входе и выходе квадратичного нелинейного элемента при бигармоническом воздействии с частотами ω₁ и ω₂: а - при близких частотах ω₁ и ω₂; б - при ω₁ << ω₂ Свойство квадратичного нелинейного элемента, позволяющее получить комбинационные частоты, широко применяется в радиотехнике для сдвига частоты сигнала. В случае же (рис. 8.14, б), когда комбинационные частоты располагаются вблизи частоты ω₂ и все три частоты: ω₂, ω₂ + ω₁ и ω₂ - ω₁ могут быть выделены одним общим фильтром, можно получить спектр, соответствующий амплитудной модуляции колебания частоты ω₂ относительно низкой частотой ω₁. При нелинейности более высокого порядка (k > 2) можно осуществить выделение любой из частот вида n + m ≤ k. При более сложном составе входного спектра, содержащем частоты ω₁, ω₂, ω₃ ..., на выходе нелинейного элемента возникают частоты nω₁, nω₂, nω₃, ... и комбинационные частоты nω_i ± mω_k, где n и m - любые целые числа, а ω_i и ω_k - любая из пар частот входного спектра. Нетрудно установить, что при любом сложном, но периодическом воздействии с основной частотой со на выходе нелинейного элемента имеет место также периодический процесс с основной частотой ω. Обогащение спектра в этом случае может произойти только за счет гармоник с частотами nω. Это объясняется тем, что в рассматриваемом частном случае все частоты выходного сигнала кратны частоте ω; следовательно, суммы и разности любых двух гармоник входного спектра также кратны ω. Из приведенного ранее качественного рассмотрения видно, что простой резистивный нелинейный элемент в сочетании с избирательной линейной целью позволяет осуществить ряд преобразований, таких, как нелинейное резонансное усиление, умножение частоты колебания, выпрямление, детектирование модулированных колебаний, сдвиг частоты колебаний, амплитудная модуляция, и др. Этим вопросам посвящены § 8.4-8.12. Воздействие гармонических колебаний на реактивные нелинейные элементы (емкость или индуктивность) рассматривается в гл. 10.

	© RATELI.RU, 2010-2020 При использовании материалов сайта активной гиперссылки обязательна: http://rateli.ru/ 'Радиотехника'