8.7. Нелинейная цепь с фильтрацией постоянного тока (выпрямление)

Рассмотрим нелинейную цепь, изображенную на рис. 8.23. К последовательному соединению нелинейного элемента Д (диод) с простейшим RС-фильтром приложена гармоническая э. д. с. е(t) = E cos ω₀t; требуется найти токи в ветвях и напряжение u_вых на выходе схемы (в стационарном режиме). Такая задача характерна для однополупериодного выпрямления переменного тока, амплитудного детектирования (в отсутствие модуляции) и многих других радиотехнических процессов. Напряжение на выходе u_вых(t) Представляет собой пульсирующую около среднего значения U₀ кривую (рис. 8.24, а). Это напряжение является отрицательным по отношению к диоду. Поэтому ток через диод возможен только в течение отрезков периода, когда положительная полуволна э. д. с. превышает напряжение u_вых(t). Иными словами, ток через диод имеет форму импульсов, показанных на рис. 8.24, б. В промежутках между импульсами тока, когда происходит разряд конденсатора С через резистор R, напряжение u_вых(t) убывает. В промежутке t₁ < t < t₂ конденсатор подзаряжается импульсом тока и u_вых(t) растет. Если постоянная времени RC нагрузочной цепи велика по сравнению с периодом Т = 2π/ω₀, то амплитуда пульсаций напряжения u_вых мала и в первом приближении можно считать u_вых ≈ U₀. Учитывая, что по отношению к диоду напряжение на нагрузке является отрицательным, рассмотрим построение, показанное на рис. 8.25. В левой части этого рисунка сплошной линией изображена истинная вольт-амперная характеристика диода в координатах i, напряжение u, а штриховой прямой линией - аппроксимирующая ее линейная функция. Диаграмма входной э. д. с. е(t) = Е cos ω₀t построена относительно вертикальной оси ω₀t, смещенной на величину U₀ влево от точки u = 0. В правой части рис. 8.25 изображены импульсы тока, длительность которых равна 2θ.

Рис. 8.23. Однополупериодный выпрямитель

Рис. 8.24. Напряжения на входе и выходе однополупериодного выпрямителя (а) и ток в цепи диода (б)

Рис. 8.25. Режим работы диода в схеме, представленной на рис. 8.23

От построения, представленного на рис. 8.10, последнее отличается отсутствием фиксированного постоянного напряжения. Следует обратить особое внимание на то, что постоянное напряжение U₀, создаваемое на нагрузочном резисторе R постоянной составляющей тока I₀, зависит от амплитуды Е входного колебания. Из этого, в частности, вытекает, что угол отсечки θ не может быть более 90°.

Для установления связи между амплитудой входного напряжения Е и выпрямленным напряжением U₀, при заданных параметрах цепи, воспользуемся результатами спектрального анализа импульсного тока, проведенного в § 8.3.

Сначала допустим, что угол отсечки тока θ известен. Тогда можно составить следующие соотношения:

Последнее соотношение вытекает непосредственно из рис. 8.25. Далее, при заданном внутреннем сопротивлении диода R_i очевидно равенство

Подставив в это выражение (8.49) и (8.50), получим

откуда

и окончательно, учитывая первое равенство (8.26),

Итак, задание внутреннего сопротивления диода R_i и сопротивления нагрузки R однозначно определяет угол отсечки θ. При этом предполагается, что емкость С, шунтирующая сопротивление R, отвечает условию

или, что то же самое, постоянная времени RC велика по сравнению с периодом Т₀, так как только в этом случае напряжение на выходе можно считать близким к постоянному.

Уравнение (8.52), связывающее угол отсечки θ с отношением R_i/R, является трансцендентным. Поэтому θ удобно определять по графику, представляющему собой зависимость отношения R_i/R от θ (рис. 8.26). Рассмотрим два предельных случая: 1) θ = 0 и 2) θ = 90°. Первый случай получается при R_i/R → 0, т. е. при бесконечно большом сопротивлении нагрузки R, когда схема детектора вырождается в схему, представленную на рис. 8.27. При этом выпрямленное напряжение на конденсаторе С достигает наибольшей возможной величины U₀ = Е и ток через диод в установившемся режиме, когда закончен процесс зарядки конденсатора равен нулю. Таким образом, случай θ = 0 соответствует режиму холостого хода. Второй случай (θ = 90°) соответствует режиму короткого замыкания нагрузки (R → 0). При этом вся э. д. с. оказывается приложенной к диоду, и ток последнего принимает форму полуволновых импульсов (усеченных в верхней части, если Е больше, чем напряжение насыщения диода).

Рис. 8.26. Характеристика R_i/R в зависимости от угла отсечки θ

Рис. 8.27. Схема замещения выпрямителя в режиме холостого хода (R_i → ∞, θ → 0)

Если действие емкости не учитывать, что допустимо при малых R, приходим к схеме, представленной на рис. 8.28. Напряжение на резисторе R совпадает в этом случае по форме с током i.

Рис. 8.28. Схема замещения выпрямителя при R << R_i, θ → 90°

Итак, для получения на выходе выпрямленного напряжения, близкого к амплитуде э. д. с. Е, угол отсечки должен быть мал, а отношение R/R_i весьма велико. При θ ≤ 10°-20° отношение U₀/E = cos θ близко к единице. Для получения такого режима требуется сопротивление нагрузки R ≈ 100R_i. После того как найдено R, требуемую емкость конденсатора С можно определить с помощью условия (8.53).

В заключение отметим, что условие (8.53), выведенное из рассмотрения процесса разрядки конденсатора С через резистор R, легко может быть истолковано на основе спектрального подхода. При 1/ω₀С << R все гармоники импульсного тока, протекающего через диод, замыкаются в основном через конденсатор, не создавая на нем заметного падения напряжения (по сравнению с U₀ = I₀R), В результате получается распределение тока, представленное на рис. 8.29. Показанный в нижней части рисунка ток, полученный вычитанием постоянной составляющей I₀ из полного тока диода i(t), является суммой всех гармоник этого тока.

Рис. 8.29. Импульсный ток в цепи диода и его составляющие