НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

10.5. Энергетические соотношения в цепи с нелинейным реактивным элементом при гармонических колебаниях

В § 10.1 отмечалось, что электронный способ осуществления переменной емкости (линейной) основан на применении нелинейной емкости, находящейся под воздействием управляющего колебания.

Особенностью бигармонического воздействия (сигнал и управляющее колебание) на нелинейный реактивный элемент является обмен энергией между источниками отдельных колебаний. Расходуемая в параметрической цепи энергия поставляется ("накачивается") источником управляющего колебания. В связи с этим его часто называют генератором накачки, а управляющее колебание - напряжением накачки. Управляющее колебание наряду с обозначением еy(t) = Еу cos (ωуt + θу) в дальнейшем часто будет записываться в форме ен(t) = Ен cos (ωнt + θн).

Рассмотрим воздействие на нелинейную емкость Снл (варикап) двух гармонических колебаний (рис. 10.9):


Рис. 10.9. Бигармоническое воздействие на нелинейную емкость
Рис. 10.9. Бигармоническое воздействие на нелинейную емкость

Вольт-кулонную характеристику варикапа аппроксимируем, как и в § 10.1, полиномом второй степени


где b1 = С0 определяется выражением (8.4), а


Применяя первое выражение (8.3) к ряду (10.45), находим ток через нелинейную емкость


Подставляя в это уравнение внешнее воздействие (10.44), после несложных тригонометрических преобразований получаем окончательное выражение


Два первых слагаемых в полученном выражении соответствуют токам частот ω1 и ωн, которые имели бы место при линейной емкости, равной b1, остальные слагаемые - гармоники с частотами 2ω1, 2ωн и комбинационные колебания с частотами ωн + ω1, ωн - ω1 являются продуктом взаимодействия двух гармонических колебаний в квадратичной нелинейности.

Заметим, что по своему составу спектр тока через нелинейную емкость отличается от спектра тока через резистивный нелинейный элемент только отсутствием постоянной составляющей [см. (8.28)-(8.30)].

Рассмотрим энергетические соотношения. Первые два тока (с коэффициентами b1), сдвинутые по фазе на 90° относительно соответствующих э. д. с. е1(t) и ен(t), не создают расхода энергии (как и в обычном линейном конденсаторе без потерь). Ток с частотой ωн + ω1 может также не учитываться при энергетических расчетах, так как средняя мощность, отдаваемая генератором э. д. с. частоты ω1 или ωн при протекании через них тока с частотой ωн + ω1, равна нулю.

Нагрузка же генераторов, создаваемая остальными токами с частотами 2ω1, 2ωн и ωн - ω1 зависит от соотношения фаз θ1 и θн. Если частоты ω1 и ωн находятся в кратном соотношении, совпадающем со степенью аппроксимирующего полинома (т. е. с порядком нелинейности), то при определенном соотношении фаз θ1 и θн эти токи могут оказаться в фазе (или в противофазе) с электродвижущими силами е1(t) или ен(t).

В частности, в рассматриваемом случае квадратичной нелинейности, при выполнении условия ωн = 2ω1, комбинационная частота ωн - ω1 совпадает с частотой э. д. с. ω1 (соответственно при ω1 = 2ωнн - ω1| = 1/2ω1 = ωн). При этом токи с частотами 2ωн и ωн + ω1 можно не учитывать, токи же с частотами ωн и ω1 представим в виде


Так как ток iωн(t) сдвинут по фазе относительно ен(t) = Ен × cos (ωнt + θн) на угол θн - (2θ1 + π/2) = θн - 2θ1 - π/2, то средняя мощность, отдаваемая генератором э. д. с. ен(t), будет равна


Соответственно мощность, отдаваемая генератором на частоте ω1 при сдвиге фаз θ1 - [(θн - θ1) + π/2] = 2θ1 - θн - π/2,


Заметим, что при любых фазах θ1 и θн выполняется условие


Наложим теперь на фазы добавочное условие: θн - 2θ1 = π/2. Тогда Рωн - положительна, a Pω1 - отрицательна. Это означает, что генератор э. д. с. частоты ω1 не расходует мощности, а наоборот, потребляет ее от генератора частоты ωн.

Пусть теперь θн - 2θ1 = -π/2. Тогда Рωн < 0, а Рω1 > 0 и источником энергии является генератор частоты ω1, а потребителем - генератор э. д. с. частоты ωн.

Рассмотрим теперь энергетические соотношения в цепи, содержащей кроме нелинейной емкости Снл еще и линейный, диссипативный элемент - параллельный колебательной контур, настроенный на частоту, близкую к ω2. На рис. 10.10 этот элемент обозначен символом Z2(iω2) (комплексное сопротивление).

Рис. 10.10. Бигармоническое воздействие на цепь с нелинейной емкостью и параллельным колебательным контуром, настроенным на комбинационную частоту
Рис. 10.10. Бигармоническое воздействие на цепь с нелинейной емкостью и параллельным колебательным контуром, настроенным на комбинационную частоту

На нелинейную емкость воздействуют две электродвижущие силы от независимых источников - сигнал е1(t) = Е1 cos (ω1t + θ1) и напряжение накачки eн(t) = Ен cos (ωнt + θн) и, кроме того, напряжение комбинационной частоты ω2 = ωн - ω1, являющееся продуктом взаимодействия е1(t) и ен(t) в нелинейной емкости. Запишем это напряжение в форме е2(t) = Е2 cos (ω2t + θ2), имея в виду, что амплитуда Е2 и фаза θ2, зависящие не только от колебаний е1(t) и ен(t), но и от комплексного сопротивления Z2(iω2), требуют еще определения. В дальнейшем будем исходить из условия, что сопротивление Z2(iω2) для частот ω1 и ωн пренебрежимо мало.

Подставляя в выражение (10.47)


и производя несложные выкладки, получаем формулу, аналогичную (10.48) (частоты, отличные от ωн - ω2 = ω1, ωн - ω1 = ω2 и ω1 + ω2 = ωн, не учитываются):


При определении энергетического баланса три первых слагаемых (с коэффициентами b1) можно не учитывать [см. комментарий к формуле (10.48)]. Токи же частот ω1, ω2 и ωн, возникающие из-за нелинейности вольт-кулонной характеристики, определяются выражениями


Здесь представляют собой амплитуды токов iω1(t), iω2(t) и iωн(t).

Учитывая, что в исходных выражениях е2(t) = Е2 cos (ω2t + θ2) имеет смысл э. д. с., компенсирующей падение напряжения на сопротивлении Z2(iω2) при прохождении через него тока iω2(t), можем на основании второго равенства (10.52) составить следующее выражение:


где через φz обозначен аргумент сопротивления z2(iω2). Отсюда следует, что


На основании последнего выражения формулы (10.52) можно привести к следующему виду:


Составим выражения для мощностей, выделяемых в нелинейной емкости на частотах ω1, ω2 и ωн:


Отрицательные значения Pω1 и Pω2 означают, что соответствующие источники э. д. с. е1(t) и e2(t) не отдают, а потребляют энергию. Положительное же значение Рωн указывает на то, что при выбранных частотах (ωн > ω2, ωн > ω1) источник ен(t) отдает энергию во внешнюю цепь.

Суммарная мощность, выделяемая в нелинейном реактивном элементе,


поскольку ωн = ω1 + ω2. Этот результат находится в полном согласии с принятым допущением отсутствия потерь в емкости.

Из выражений (10.54) получаем следующие пропорции:


Эти соотношения являются частным случаем общей теоремы Мэнли-Роу об энергетических соотношениях в спектре колебания в цепи, содержащей реактивную нелинейность. Эта теорема записывается в форме


где ω1 и ω0 - частоты генераторов, возбуждающих систему; Рm, n - мощность колебания частоты mω1 + nω0; целые числа m и n определяют порядок комбинационного колебания. Предполагается, что в общем случае в цепи с нелинейной реактивностью имеются проводимости для любых комбинационных частот.

Выражения (10.56) можно распространить на любые реактивности - емкостные и индуктивные - при условии отсутствия гистерезиса.

Первое равенство (10.56), в котором m принимает только положительные значения, устанавливает соотношение между мощностью Рm, n комбинационного колебания и частотой генератора ω1. Соответственно второе равенство, в котором n ≥ 0, устанавливает связь между комбинационными колебаниями и частотой ω0 второго генератора.

Поясним применение выражений (10.56) на примере рассмотренной ранее цепи (рис. 10.10), возбуждаемой двумя генераторами на частотах ω1 и ω0 = ωн. Кроме этих частот, на пассивном элементе Z22) создается одно комбинационное колебание с разностной частотой ω2 = ωн - ω1.

В соответствии с обозначениями выражений (10.56) частоту ω1 следует рассматривать как значение знаменателя mω1 + nω0 при m = 1 и n = 0, а мощность на этой частоте Pω1 = Р1, 0. Частоте ω0 соответствуют индексы суммирования m = 0, n = 1 и мощность Рω0 = Р0, 1. Наконец, частоте ω2 = ω0 - ω1 соответствуют индексы m = -1, n = 1 и мощность Рω2 = Рω01 = Р-1, 1.

Тогда внутренняя сумма в первом равенстве (10.56) дает


Суммируя полученное выражение по m, получим первое равенство (10.56)


(Слагаемые, содержащие Р0, 0 и Р1, 1, отброшены). Таким образом,


или


Аналогичным образом второе равенство дает


Итак, получаем пропорции


совпадающие с выражением (10.55) при замене ω0 на ωн.

Из проведенного анализа видно, что с помощью нелинейной емкости можно осуществить преобразование спектра, сопровождающееся перекачкой энергии из одного источника в другой. Так, если ω1 - частота принимаемого сигнала, а ω0 - частота генератора накачки, то можно выделить комбинационную частоту ω2 = ω0 - ω1 с одновременным усилением мощности колебания на этой частоте. Напомним, что при использовании резистивного нелинейного элемента преобразование частоты сигнала (см. § 8.10) не сопровождается перекачкой энергии от гетеродина.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'