НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

11.8. Корреляционная функция и энергетический спектр случайного процесса в параметрической цепи

Пусть передаточная функция линейной параметрической цепи является вещественной функцией времени и не зависит от частоты. В § 10.2 было показано, что подобная передаточная функция характеризует цепь, в которой имеет место амплитудная модуляция.

Обозначим передаточную функцию через К(t) (аргумент iω опущен), причем функция К(t) может представлять собой как детерминированный, так и случайный процесс. Входной сигнал s(t) также может быть либо детерминированным, либо случайным процессом.

Составим выражение для корреляционной функции выходного сигнала sвых(t)


Нас интересует случай, когда передаточная функция К(t) не зависит от входного сигнала s(t). Тогда среднее значение произведения в (11.65) равно произведению средних значений соответствующих сомножителей, т. е.


где Вs(t, τ) есть корреляционная функция входного сигнала, а


- корреляционная функция цепи с коэффициентом передачи К(t).

Из выражения (11.66) вытекает важное свойство линейной цепи с переменными параметрами: корреляционная функция выходного сигнала равна произведению корреляционных функций входного сигнала Вs(t, τ) и цепи ВK(t, τ).

Корреляционные функции в (11.66), (11.67) в случае нестационарных процессов зависят не только от временного сдвига τ, но и от времени t. Этими характеристиками не всегда удобно пользоваться. Далее в примерах используются функции В(τ), получаемые усреднением В(t, τ) по t [см. § 4.7, формулу (4.89)].

Применяя преобразование Фурье к усредненной по времени функции Ввых(τ), получаем также усредненный энергетический спектр выходного сигнала


Проиллюстрируем соотношения (11.65)-(11.68) на примерах.

1. Гармонический сигнал s(t) = cos ω0t действует на входе линейной цепи с передаточной функцией


где К0 - среднее значение коэффициента усиления цепи; ΔК(t) - флуктуация коэффициента усиления, представляющая собой нормально распределенный стационарный случайный процесс с дисперсией σ2К.

Для полной характеристики изменения во времени передаточной функции цепи должны быть заданы либо корреляционная функция BK(τ), либо энергетический спектр WK(ω) случайного процесса К(t).

Очевидно, что постоянной составляющей К0 соответствует энергетический спектр WK0(ω) = 2πК20δ(ω)*. Энергетический спектр второго слагаемого, т. е. ΔК(t) зададим в форме

* (Действительно, для постоянной составляющей К0 корреляционная функция равна К20. Следовательно, по формуле (11.68) энергетический спектр


)


где a и c - постоянные величины.

Таким образом, энергетический спектр суммы К0 + ΔК(t)


Заданному энергетическому спектру WК(ω) соответствует корреляционная функция


Найдем корреляционную функцию и энергетический спектр сигнала на выходе цепи.

Имея в виду соотношения (11.66) и (11.71), а также учитывая, что корреляционная функция сигнала s(t) = cos ω0t равна


получаем


Находим теперь энергетический спектр с помощью выражения (11.68):


Первые два интеграла дают дельта-функции 2πδ(ω - ω0) и 2πδ(ω + ω0). Последние же два интеграла дают соответственно 2а/[а2 + (ω - ω0)2] и 2а/[а2 + (ω + ω0)2]. Таким образом, окончательно


Функция Wвых(ω) изображена на рис. 11.13. Монохроматической составляющей выходного сигнала соответствуют две дискретные спектральные линии, а шумовой составляющей, обусловленной флуктуациями усиления ΔK(t), - сплошной спектр (на рис. 11.13 заштрихован). Этот спектр состоит из комбинационных частот, располагающихся симметрично относительно частоты сигнала ω0 (в области отрицательных ω симметрично относительно - ω0).

Рис. 11.13. Энергетический спектр на выходе параметрической цепи со случайной передаточной функцией при гармоническом воздействии
Рис. 11.13. Энергетический спектр на выходе параметрической цепи со случайной передаточной функцией при гармоническом воздействии

2. Нормально распределенный случайный процесс s(t) с энергетическим спектром (рис. 11.14)


группирующимся вблизи нулевой частоты, действует на входе цепи с передаточной функцией


Рис. 11.14. Энергетический спектр на выходе параметрической цепи с передаточной функцией, изменяющейся по гармоническому закону, при воздействии нормальным случайным процессом
Рис. 11.14. Энергетический спектр на выходе параметрической цепи с передаточной функцией, изменяющейся по гармоническому закону, при воздействии нормальным случайным процессом

Находим корреляционную функцию входного сигнала


и корреляционную функцию цепи


Тогда в соответствии с соотношением (11.66) корреляционная функция выходного сигнала


и энергетический спектр


Функция Wвых(ω) изображена на рис. 11.14.

3. Нормально распределенный случайный процесс s(t) действует на входе цепи, передаточная функция К(t) которой является также случайным процессом с нормальным распределением.

Энергетические спектры процессов s(t) и K(t) зададим в форме Ws(ω) = 2d/(b2 + ω2) - как в примере 2, WK(ω) = 2πК20δ(ω) + 2с/(а2 + ω2) - как в примере 1.

Корреляционные функции входного сигнала и рассматриваемой цепи соответственно равны


Находим корреляционную функцию выходного сигнала


и энергетический спектр


Первое слагаемое в правой части соответствует сигналу на выходе цепи с передаточной функцией K0 (в отсутствие мультипликативной помехи), а второе слагаемое соответствует мультипликативной помехе. Величина этого слагаемого пропорциональна произведению параметра d, характеризующего интенсивность сигнала, и параметра с, который определяет дисперсию флуктуации передаточной функции цепи σ2K.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'