НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

11.9. Влияние мультипликативной помехи на закон распределения сигнала

Рассмотренные в предыдущем параграфе характеристики случайного сигнала - корреляционная и спектральная - не являются исчерпывающими. Для прикладных задач большой интерес представляет определение плотности вероятности р(sвых).

В общем случае, когда передаточная функция цепи К(iω, t) является функцией двух переменных - частоты и времени, отыскать р(sвых) при произвольном законе распределения входного сигнала весьма затруднительно. Задача сильно упрощается при мультипликативной помехе типа амплитудной модуляции, когда передаточная функция К(t) зависит только от одной переменной - времени t.

Имея в виду это условие, рассмотрим следующие три характерные ситуации:

1) s(t) - случайный, а К(t) - детерминированный процессы;

2) s(t) - детерминированный, а К(t) - случайный процессы;

3) s(t) и К(t) - случайные процессы.

Ситуации 1 и 2 приводят к задаче нахождения закона распределения произведения s(t), К(t),в котором один из сомножителей является случайной, а другой - детерминированной величиной. Если случайный процесс стационарный, задача легко решается. Из теории случайных функций известно, что при умножении случайной функции х(t) (стационарный процесс) с дифференциальным законом распределения р(х), с нулевым средним и дисперсией σ2x на детерминированную функцию времени y(t) получается нестационарный процесс x(t) y(t) с прежним законом распределения, но с дисперсией

В частности, если входной сигнал s(t) - стационарный, нормально распределенный процесс с дисперсией σ2s, а передаточная функция системы К(t) - детерминированная (случай 1), то выходной сигнал сохраняет нормальное распределение, однако каждому фиксированному моменту времени соответствует своя дисперсия σ2вых = σ2s К2(t).

При детерминированном сигнале s(t) и случайной функции К(t) (случай 2), если последнюю можно представить в форме К(t) = K0 + ΔК(t), выходной сигнал целесообразно записать в виде


Первое слагаемое в правой части характеризует полезный выходной сигнал (детерминированный), а второе - мультипликативную помеху (случайную). Закон распределения этого слагаемого такой же, как у случайного процесса ΔК(t), но с дисперсией σ2Ks2(t) (при

Рассмотрим случай 3. Пусть оба процесса s(t) и К(t) стационарные, с плотностями вероятности соответственно р(s) и р(K). Задача заключается в нахождении плотности вероятности случайного процесса sвых(t), являющегося произведением s(t) и К(t).

Из теории вероятности известно, что если взаимно независимым случайным величинам x и y соответствуют плотности вероятности р(х) и р(y), то произведению z = xy соответствует плотность вероятности р(z), определяемая выражением


Подразумевая под х входной сигнал s(t), под у передаточную функцию К(t), а под z произведение sвых(t) = s(t) К(t), получаем выражение для определения плотности вероятностей выходного сигнала sвых. Применение (11.83) иллюстрируется примерами.

1. В качестве первого примера рассмотрим передачу гармонического сигнала s(t) = A0 cos (ω0t + θ), в котором начальная фаза θ является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале (-π, π), через линейную цепь с передаточной функцией К(t), флуктуирующей относительно среднего значения K0 по нормальному закону.

Таким образом, соответствующие плотности вероятности


Подставляя эти выражения в (11.83) и приравнивая x = s, а z/x = y = sвых/s = K, приходим к следующему общему выражению для плотности вероятности выходного сигнала:


Следует подчеркнуть, что найденный закон распределения характеризует мгновенное значение выходного сигнала.

Для практики часто основной интерес представляет распределение огибающей выходного сигнала.

Представляя выходной сигнал в форме


где А(t) = A00 + ΔK(t)] - огибающая, приходим к очевидному заключению, что случайность фазы θ не оказывает влияния на распределение огибающей. Последнее совпадает с распределением функции К(t), т. е. является нормальным, со средним значением A0K0 и с дисперсией A20σ2K.

2. Обратимся теперь к анализу статистических характеристик случайного нормально распределенного сигнала s(t), пропущенного через цепь, передаточная функция которой К(t) также является нормально распределенной случайной величиной.

Для упрощения воспользуемся представлением передаточной функции в виде К(t) = К0 + ΔК(t), в соответствии с чем выходной сигнал можно записать в виде суммы, аналогичной (11.82):


Первое слагаемое в правой части, отличающееся от s(t) постоянным коэффициентом K0, характеризует полезный сигнал на выходе цепи. Статистические свойства этого сигнала совпадают со свойствами случайного сигнала s(t), действующего на входе цепи, а дисперсия равна K20σ2s.

Рассмотрим слагаемое sМП(t), являющееся результатом действия мультипликативной помехи. По условию


Подставляя эти выражения в (11.83), находим плотность вероятности помехи sМП(t):


Входящий в это выражение интеграл является частным случаем интеграла (см. [6], формула (3.478.4))


Здесь Kμ/p(z) - цилиндрические функции мнимого аргумента.

Приравнивая в соответствии с (11.84) и р = 2, получаем


Обозначение цилиндрической функции нулевого порядка К0 не следует смешивать со средним значением передаточной функции К(t) [см. (11.69)].

Для вычисления функции К0(z) можно использовать ряд (см. [6], формула (8.447.3))


I0(z) - функция Бесселя от мнимого аргумента; ψ - функция Эйлера


С = 0,5772 - постоянная Эйлера.

С учетом (11.87) выражение (11.86) переходит в следующее:


График функции σsσКp (sМП) изображен на рис. 11.15. Этот график имеет обобщенный характер, иллюстрирующий закон распределения произведения двух нормальных взаимно независимых случайных процессов в дисперсиями σ2s и σ2К и с нулевыми средними.

Рис. 11.15. Плотность вероятности произведения двух независимых нормальных случайных процессов
Рис. 11.15. Плотность вероятности произведения двух независимых нормальных случайных процессов

3. Допустим, что входной сигнал представляет собой узкополосный нормально распределенный процесс


причем огибающая A(t) и функция ΔК(t) обладают примерно одинаковыми по ширине энергетическими спектрами.

Тогда колебание sМП(t) удобно представить в форме, аналогичной (11.89):


Для практики часто требуется знать закон распределения огибающей Авых(t), т. е. случайной функции


Учитывая, что А обладает релеевским распределением:


а ΔК(t) - нормальным распределением:


в соответствии с (11.83) получаем



Интеграл в выражении (11.90) является частным случаем интеграла (11.85) при γ = 1 и р = 2.

Таким образом,


Учитывая, что (см. [6], формула (8.469.3))


и подставляя значения β и γ, получаем


График функции 2σsσKp (Авых) изображен на рис. 11.16. В отличие от огибающей А(t), которая не может принимать отрицательных значений, величина Авых(t), являющаяся произведением А(t) и ΔK(t), имеет симметричное относительно нуля распределение (экспоненциальное).

Рис. 11.16. Плотность вероятности огибающей случайного процесса на выходе параметрической цепи со случайной передаточной функцией при воздействии нормальным процессом
Рис. 11.16. Плотность вероятности огибающей случайного процесса на выходе параметрической цепи со случайной передаточной функцией при воздействии нормальным процессом

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'