НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

13.3. Дискретные преобразования Фурье

Для уяснения особенностей дискретной фильтрации важное значение имеет выявление структуры спектра дискретизированного сигнала sT(t).

Пусть заданы спектральная плотность S(ω) исходного сигнала s(t) (континуального) и шаг взятия выборок Т. Рассматривая sT(t) как произведение s(t) yT(t), где yT(t) определяется выражением (13.1), находим спектральную плотность функции sT(t) по формуле


Периодическую последовательность дельта-импульсов можно представить в виде ряда Фурье


Коэффициенты этого ряда равны 1/T поскольку спектральная плотность одиночного дельта-импульса равна единице, а период повторения импульсов равен Т [см. формулу (2.55)].

Подставив (13.9) в (13.8), получим


Итак, спектр ST(ω) дискретизированного сигнала представляет собой последовательность спектров*S(ω) исходного сигнала s(t), сдвинутых один относительно другого на величину 2π/Т.

* (По своей размерности величина SТ(ω) отличается от S(ω) так же, как и сами оригиналы sT(t) и s(t) (см. сноску ранее).)

Если шаг взятия выборок отвечает условию Т < 1/2fm (по теореме отсчетов) и, следовательно, ωm ≤ π/Т, го отдельные спектры не перекрываются, как это показано на рис. 13.6, и могут быть разделены с помощью фильтров на выходе устройства.

Рис. 13.6. Спектр дискретизированного сигнала
Рис. 13.6. Спектр дискретизированного сигнала

Спектр дискретизированного сигнала приобретает периодическую форму. Выражение (13.10) полезно для установления связи между S(ω) и ST(ω), однако в общем случае, при произвольном соотношении между Т и S(ω), когда возможно перекрытие спектров, применение формулы (13.10) становится затруднительным. Кроме того, желательно иметь формулу, позволяющую находить ST(ω) непосредственно по заданным временным выборкам s(kT), без обращения к спектру S(ω) исходного континуального сигнала. Такую формулу легко получить, если преобразование Фурье применить к выражению (13.2). При отсчете времени от первой выборки s(0) получим


Реальный сигнал аппроксимируется с помощью конечного числа отсчетов. При числе отсчетов N выражение (13.11) принимает вид


При использовании ЭВМ требуется дискретизация сигнала как во временной, так и в частотной области. В последнем случае частотный спектр ST(ω) определяется совокупностью своих значений ST(nω1) на дискретных частотах ω = nω1.

В § 2.15 было установлено, что число степеней свободы сигнала одинаково как по времени, так и по частоте. Частотный интервал сох между соседними отсчетами должен быть приравнен ω1 = 2ωm/N.

Так как ωm = π/Т, то ω1 = 2π/NT. Это соотношение согласуется с определением Δω = 2π/Тс в § 2.15, поскольку произведение NT имеет смысл длительности Тс исходного (континуального) сигнала.

Подставив в выражение (13.12) ω = nω1, получим формулу для определения частотных выборок


Соотношение (13.13) называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

При увеличении |n| свыше (N - 1)/2 функция ST(nω1) повторяется периодически. Поэтому ST(-ω1) можно приравнять ST[(N - 1)ω1], соответственно ST(-2ω1) = ST[(N - 2)ω1] и т. д. Это позволяет записать выражение (13.13) в несколько измененной форме, удобной для вычисления на ЭВМ:


Нумерация отсчетов при нечетном и четном значениях N поясняется рис. 13.7, 13.8 при N = 7 и 8. Функция s(t) в этих примерах предполагается вещественной, поэтому частотные выборки, расположенные симметрично относительно точки n = 0 (ω = 0), должны образовывать комплексно-сопряженные пары. Для выполнения этого условия выборки ST(nω1) должны располагаться в середине соответствующих частотных интервалов (на рис. 13.7, 13.8 заштрихованных). В нижних частях этих рисунков в скобках обозначены номера отсчетов, соответствующих отрицательным значениям n, после сдвига отсчетов вправо на N частотных интервалов. Как при четном, так и нечетном N полная ширина спектра 2ωm = Nω1.

Рис. 13.7. Дискретное преобразование Фурье. Нумерация отсчетов при нечетном N
Рис. 13.7. Дискретное преобразование Фурье. Нумерация отсчетов при нечетном N

Рис. 13.8. Нумерация отсчетов при четном N
Рис. 13.8. Нумерация отсчетов при четном N

Можно ввести и понятие обратного дискретного преобразования Фурье. По аналогии с парой преобразований Фурье (2.48), (2.49) дискретное обратное преобразование можно определить как


Для определения постоянного коэффициента С подставим в это выражение ST(nω1) из (13.13'):


При m = k внутренняя сумма обращается в N, а при любом другом значении m - в нуль (как сумма векторов, концы которых делят окружность единичного радиуса на равные дуги). Следовательно, в правой части остается одно слагаемое С s(kT)N, из чего вытекает равенство С = 1/N. Таким образом, обратное дискретное преобразование Фурье, принимает следующую форму:


Как и при прямом ДПФ, вне интервала 0 ≤ k ≤ N - 1 функция s(kT) продолжается периодически.

Некоторые из свойств непрерывных преобразований Фурье, рассмотренных в § 2.7, нетрудно сформулировать также и для ДПФ.

1. Линейность преобразования: спектр суммы (разности), дискретных сигналов равен сумме (разности) их спектров.

2. Сдвиг дискретного сигнала во времени. Повторяя рассуждения, приведшие к выражению (2.57), нетрудно показать, что если сигналу s(t), представленному совокупностью отсчетов s(kT), k = 0, 1, 2, ..., N - 1, соответствует ДПФ ST(nω1), то сигналу s(t + mТ), где m - целое число, соответствует ДПФ Иными словами, сдвиг последовательности отсчетов на m интервалов приводит лишь к изменению фазочастотной характеристики ДПФ на величину /N nm (теорема запаздывания).

3. Теорема свертки. Если ДПФ ST(nω1) соответствует дискретному сигналу а ДПФ GT(nω1) - сигналу то произведению ST(nω1) GT(nω1) соответствует сигнал


Вывод этого выражения аналогичен выводу (2.64) [см. также (13.7)].

В предыдущих главах отмечалось, что ограничение сигнала одновременно по длительности и по ширине спектра неосуществимо. Представление сигнала конечным числом импульсов N и конечным числом частотных выборок N неизбежно сопровождается некоторыми искажениями формы сигнала. Однако эти искажения проявляются не при переходе от s(kT) к ST(nω1) или при обратном переходе от ST(nω1) к s(kT) с помощью преобразований (13.13), (13.14), а при переходе от дискретного представления к континуальному. Этот вопрос рассматривается в следующем параграфе.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'