13.8. Применение метода z-преобразования для анализа дискретных сигналов и цепей

При математическом описании дискретных последовательностей, а также цепей большую роль играет функция е^рT. Изображения по Лапласу временных процессов, а также передаточные функции цепей, в которые входит функция е^рТ, оказываются трансцендентными функциями р, что существенно затрудняет анализ. Его можно упростить при переходе к новой переменной z, связанной с р соотношением

При такой замене указанные функции от р преобразуются в рациональные функции от переменной z, благодаря чему упрощается представление их на плоскости z.

Преобразование плоскости р = σ + iω в плоскость z = х + iy можно осуществить с помощью следующих соотношений, связывающих координаты σ₁, ω₁ какой-либо точки р₁ на плоскости р с координатами x₁, y₁ соответствующей точки z₁ на плоскости z (рис. 13.18):

Рис. 13.18. Соотношение между координатами точки на p-плоскости (а) и на z-плоскости (б)

В полярных координатах на плоскости z

где m - любое целое число.

На рис. 13.19 представлены отображения некоторых характерных точек и областей из p-плоскости на z-плоскость. Точка р = 0 переходит в точку z = 1 на вещественной оси z-плоскости. При движении точки p-плоскости вдоль оси iω (т. е. при σ = 0) соответствующая ей точка z-плоскости описывает окружность единичного радиуса. Один полный оборот радиуса-вектора соответствует изменению частоты ω в интервале

Рис. 13.19. Отображение точек и областей из р-плоскости на z-плоскость

При движении точки p₁ вдоль оси iω в пределах от -i∞ до i∞ точка z₁ описывает бесконечно большое число окружностей. Таким образом, взаимно однозначное отображение р на z существует только для полосы p-плоскости между Внутри этой полосы левая полуплоскость отображается внутрь единичного круга. Все параллельные полосы такой же ширины соответствуют этому же кругу. Правая полуплоскость р преобразуется во всю z-плоскость, исключая единичный круг.