НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

13.11. Примеры анализа дискретных фильтров на основе метода z-преобразования

1. Нерекурсивный фильтр второго порядка

В соответствии с выражением (13.30) при Н = 2 передаточная функция фильтра, представленного на рис. 13.21, а, преобразуется в функцию


Рис. 3.21. Цифровой фильтр второго порядка (а) и положение нулей на z-плоскости (б)
Рис. 3.21. Цифровой фильтр второго порядка (а) и положение нулей на z-плоскости (б)

Эта функция имеет нули в точках


Двукратный полюс, расположенный в точке zп = 0, не оказывает влияния на поведение передаточной функции.

Особый интерес представляют случаи когда


Модуль этого выражения равен единице, так что комплексно-сопряженные нули z01 и z02 лежат на окружности единичного радиуса. В частности, при а1 = -2 двукратный нуль расположен в точке z = 1 (рис. 13.21, б). Этот случай соответствует широко распространенному в практике режекторному фильтру второго порядка с бесконечно большим затуханием на частоте ω = 0 (еiωT = 1).

Амплитудно-частотную характеристику такого фильтра легко определить из выражения (13.71) при подстановке а0 = а2 = 1, и домножении правой части на


График этой функции представлен на рис. 13.22 (сплошная линия). Сопоставление (13.72) с выражением (13.35) показывает, что рассматриваемый фильтр второго порядка эквивалентен каскадному соединению двух фильтров первого порядка с коэффициентами а0 = 1 и а1 = -1.

Рис. 13.22. Амплитудно-частотная характеристика фильтра (рис. 13.21, а) при а0 = 1 и a1 = -1
Рис. 13.22. Амплитудно-частотная характеристика фильтра (рис. 13.21, а) при а0 = 1 и a1 = -1

Изменением коэффициента ах можно перемещать нули z01,2 по окружности единичного радиуса, что равносильно перемещению нуля АЧХ по оси частот. В частности, при (рис. 13.21, б). Соответствующая АЧХ изображена на рис. 13.22 (штриховая линия).

2. Рекурсивный фильтр первого порядка (рис. 13.15)

Передаточная функция (13.42) преобразуется к виду


Эта функция имеет нуль в точке z0 = 0 и полюс в точке zп = b1.

Определим импульсную характеристику фильтра с помощью формулы (13.69). Представив в форме геометрической прогрессии


и применив к каждому слагаемому выражение (13.69), получим


Из данного примера видно преимущество рекурсивного фильтра перед нерекурсивным. Для получения приведенной выше импульсной характеристики требуется всего лишь один элемент памяти Т, а в случае нерекурсивного - большое число (теоретически бесконечное). В рекурсивном фильтре это преимущество достигается благодаря циркуляции импульса по кольцу обратной связи с задержкой Т.

Представив b1 в форме b1 = е-αT, запишем выражение (13.74) в виде


из которого следует, что дискретная импульсная характеристика рассматриваемой цепи совпадает с последовательностью выборок импульсной характеристики непрерывной RС-цепи, постоянная времени которой отвечает условию


При этом, однако, амплитудно-частотные характеристики двух цепей существенно различны. Для дискретной цепи АЧХ определяется формулой (13.43), а для аналоговой цепи выражением


На рис. 13.23 сравниваются АЧХ Кдискр дискретной цепи (нормированной по максимальному значению) при b1 = 0,2 с АЧХ KRC [при RC = Т/ln(1/b1)].

Рис. 13.23. Амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра (сплошная линия) и аналоговой RC-цепи (штриховая) при эквивалентности их импульсных характеристик
Рис. 13.23. Амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра (сплошная линия) и аналоговой RC-цепи (штриховая) при эквивалентности их импульсных характеристик

Деформация АЧХ дискретной цепи обусловлена гребенчатой структурой передаточной функции (см. § 13.5) и наложением хвостов АЧХ соседних частотных интервалов.

3. Рекурсивный фильтр второго порядка (рис. 13.24)

Рис. 13.24. Рекурсивный цифровой фильтр второго порядка
Рис. 13.24. Рекурсивный цифровой фильтр второго порядка

Передаточную функцию запишем сначала в форме


соответствующей случаю а0 = 1, а1 = 0, а2 = 0, когда нули передаточной функции (в данном случае двукратный нуль) имеются только в точке z = 0, т. е. в центре окружности единичного радиуса.

Корни уравнения z2 - b1z - b2 = 0 (полюса)


При b2 < 0 и, кроме того, полюса zп1 и zп2 - комплексно-сопряженные числа:


В этом случае


откуда вытекают следующие соотношения между коэффициентами полинома в (13.76) и полюсами zп 1,2:


Представив zп 1,2 в форме


где r = |zп 1,2| - расстояние полюса от начала координат, а φп = ωпТ - азимут полюса (рис. 13.25), получим


Рис. 13.25. Положение полюсов цифрового фильтра второго порядка на z-плоскости
Рис. 13.25. Положение полюсов цифрового фильтра второго порядка на z-плоскости

Для определения АЧХ рассматриваемой цепи подставим в (13.76) z = eiωT возьмем модуль


При заданном положении полюсов (т. е. при заданных r и ωпТ) построение АЧХ удобно производить по формуле (13.66), измеряя Rп1 и Rп2 по чертежу. В данном случае с целью упрощения вычислений используем формулу (13.80) для частного случая ωпТ = 90°. При этом выражение (13.80) легко приводится к виду


Графики функции КТ(ωТ) для r = 0,75, 0,875 и 0,9375 представлены на рис. 13.26. С приближением r к единице рассматриваемая цепь приближается к резонатору с весьма высокой добротностью. При этом, однако, возникает опасность потери устойчивости.

Рис. 13.26. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивного фильтра второго порядка (см. рис. 13.24 и 13.25)
Рис. 13.26. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивного фильтра второго порядка (см. рис. 13.24 и 13.25)

Рассмотрим теперь передаточную функцию второго порядка более общего вида, соответствующую схеме на рис. 13.24:


Как указывалось в § 13.6 [см. формулу (13.40) и пояснение к ней] фильтр с передаточной функцией (13.82) можно трактовать как каскадное соединение нерекурсивного фильтра [с передаточной функцией αT(z)] и рекурсивного [с передаточной функцией 1/βT(z)]. Такое сочетание можно использовать, в частности, в режекторном фильтре, рассмотренном в примере 1 и дополненном обратными связями для выравнивания АЧХ в полосе прозрачности фильтра.

На рис. 13.27 показан график функции |αT(ω)|, перенесенный с рис. 13.22 (при а0 = а2 = 1, a1 = -2), и график функции |1/βT(ω)| при коэффициентах b1 = 0,21875 и b2 = 0,4375, а также результирующая АЧХ.

Рис. 13.27. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивного звена с прямыми связями (I), звена с обратными связями (II) и цифрового фильтра в целом
Рис. 13.27. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивного звена с прямыми связями (I), звена с обратными связями (II) и цифрового фильтра в целом

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'