НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

14.4. Определение функций Уолша

Функции Уолша и Радемахера, известные с 1922 г., были надолго преданы забвению. Интерес к этим функциям и широкое их распространение связаны с развитием вычислительной техники.

Существуют различные способы определения функций Уолша. Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша с функциями Радемахера. Последние, в свою очередь, получаются из синусоидальных функций с помощью соотношения


где аргумент θ = t/T0 есть безразмерное время, т. е. время, нормированное к произвольному интервалу T0, а целое положительное число k - порядок функции. Символом sign (сигнум-функция) обозначается функция


В соответствии с (14.26) и (14.27) функции Радемахера, принимающие одно из двух значений ±1, имеют вид меандра. Первые четыре функции Радемахера представлены на рис. 14.11.

Рис. 14.11. Первые четыре функции Радемахера
Рис. 14.11. Первые четыре функции Радемахера

Функции Радемахера ортонормированы (см. § 2.2) с единичной весовой функцией на интервале 0 ≤ θ < 1. Действительно, для любых двух функций rm(θ), rn(θ) имеют место соотношения


Все функции Радемахера являются нечетными относительно середины интервала определения и, следовательно, не могут быть использованы для аппроксимации сигналов s(θ), четных относительно момента θ = 1/2. Иными словами, система функций Радемахера - неполная (см. § 2.2).

Функции Уолша, образующие полную ортонормированную систему, можно сформировать, образуя произведения степеней соответствующих функций Радемахера. Первые восемь функций Уолша представлены на рис. 14.12. Сопоставление этих функций с функциями Радемахера (рис. 14.11) позволяет составить очевидные, по крайней мере для первых четырех функций Уолша, соотношения


Рис. 14.12. Первые восемь функций Уолша и их нумерация при различных способах упорядочения
Рис. 14.12. Первые восемь функций Уолша и их нумерация при различных способах упорядочения

Нетрудно также проверить правильность соотношений:


Итак, каждая функция Уолша wal (w, θ), входящая в систему из N = 2n функций, является произведением степеней первых n функций Радемахера. Принцип нахождения показателей этих степеней поясняется табл. 14.1 на примере N = 23 = 8.

Таблица 14.1
Таблица 14.1

В этой таблице использованы следующие обозначения: w - номер функции в системе; wm - m-й разряд представления числа w в двоичной системе счисления, т. е.


- символ поразрядного суммирования по модулю 2 по правилам


Показанный в табл. 14.1 способ построения функций Уолша можно выразить аналитически для любого N = 2n в виде следующего соотношения:


Поясним применение (14.30) на примере шестой функции Уолша (w = 6), входящей в систему размером N = 23 = 8. Произведение в (14.30) состоит из трех множителей (при k = 1, 2 и 3) вида Подстановкой в левую часть (14.28) w = 6 и n = 3 получаем


откуда следуют равенства w1 = 1, w2 = 1; w3 = 0. Таким образом,


и по формуле (14.30)


Из рис. 14.12 видно, что четным относительно середины интервала определения (θ = 0,5) функциям wal (w, θ) соответствуют четные номера w, а нечетным функциям - нечетные номера. Такое взаимно однозначное соответствие между четностью функций wal (w, θ) и четностью их номеров w аналогично свойствам тригонометрических функций (см. рис. 14.13).

Рис. 14.13. Четность номеров косинусоидальных и нечетность номеров синусоидальных функций
Рис. 14.13. Четность номеров косинусоидальных и нечетность номеров синусоидальных функций

Поэтому иногда применяются обозначения cal (j, θ) для четных и sal (i, θ) для нечетных функций Уолша.

Легко проверить, что функции cal (j, θ) и sal (j, θ) связаны с функциями wal (w, θ) следующими соотношениями:


Эти обозначения указаны на рис. 14.12.

Способ нумерации функций в системе называется упорядочением. Функции Уолша, сформированные посредством выражения (14.30), упорядочены по Уолшу.

Часто применяются функции Уолша, упорядоченные по Пэли [pal (р, θ)] и по Адамару [had (h, θ)]*.

* (Обозначения pal (р, θ) и had (h, θ) образованы из начальных букв фамилий Paley и Hadamard соответственно.)

Независимо от упорядочения функции Уолша, составляющие систему из N = 2n функции, всегда можно представить в виде произведения степеней первых n функций Радемахера. Принцип же нахождения показателей этих степеней индивидуален для каждого упорядочения.


Таблица 14.2
Таблица 14.2

Очевидно, что аналитическая запись функций Уолша в упорядочении Пэли имеет следующий вид:


Сравнивая способы образования показателей степеней функций Радемахера на примерах табл. 14.1 и 14.2, легко приходим к выводу, что двоичные разряды номеров функций Уолша, упорядоченных по Пэли, связаны с двоичными разрядами номеров функций Уолша, упорядоченных по Уолшу, следующим соотношением:


Итак, переход от упорядочения по Уолшу к упорядочению этих функций по Пэли выражается в перестановке этих функций в системе по закону (14.32).

Функции had (h, θ) можно сформировать с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара HN порядка N = 2n называется квадратная матрица размера N × N с элементами ±1, такая, что


где I - единичная матрица, а т - знак транспонирования.

Нормированную матрицу Адамара порядка N можно построить рекурсивно, т. е.


Так, например,


Функция Уолша, упорядоченная по Адамару, т. е. had (h, θ) с номером h, является последовательностью прямоугольных импульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими знакам элементов h-й строки матрицы Адамара. Под длительностью импульсов подразумевается (1/N)-я доля интервала [0, 1).

Для иллюстрации связи между функцией had (h, θ) и матрицей Адамара, а также для определения места этих функций в системе приведем матрицу Адамара для N = 8 = 23, заменяя 1 и -1 знаками соответственно плюс и минус:


Взаимосвязь между упорядочением по Адамару и Пэли определяется соотношением


где n = log2 N.

Нумерация первых восьми функций Уолша при различных способах упорядочения дана в табл. на рис. 14.12.

Следует указать, что введенные выше упорядочения вытекают из свойства симметричности матрицы Адамара, заключающегося в том, что транспонированная матрица совпадает с исходной: HN = HTN. Как видно из предыдущего, введенные упорядочения отвечают симметричности соответствующих им матриц.

Не следует полагать, что упорядочениями Уолша, Пэли и Адамара исчерпываются все возможные упорядочения.

Независимо от способа упорядочения функции Уолша в дальнейшем будут обозначаться символом wal (i, θ). Функции Уолша ортонормированы на интервале 0 ≤ θ < 1:


Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, т. е. перемножение двух функций Уолша дает другую функцию Уолша, причем


Функции Уолша wal (i, θ) обладает свойством симметрии, проявляющегося в том, что все выводы относительно i справедливы также и относительно θ. Так, например, свойство мультипликативности (14.36) с учетом свойства симметрии запишется в виде


Умножение любой функции Уолша самой на себя дает функцию нулевого порядка wal (0, θ), так как в результате получаются только произведения вида (+1) (+1) и (-1) (-1). Таким образом,


Очевидно также, что умножение wal (i, θ) на wal (0, θ) не изменяет функцию wal (i, θ).

Функции Уолша иногда определяют на интервале -1/2 ≤ θ < 1/2. Первые восемь функций на указанном интервале представлены на рис. 14.14. Функции Уолша могут служить базисом спектрального (негармонического) представления сигналов.

Рис. 14.14. Первые восемь функций Уолша на интервале -0,5 0 0,5
Рис. 14.14. Первые восемь функций Уолша на интервале -0,5 ≤ θ < 0,5

Любую интегрируемую на интервале 0 ≤ θ < 1 функцию f(θ) можно представить рядом Фурье по системе функций Уолша


с коэффициентами


Вне интервала [0, 1) ряд (14.38) описывает периодическую функцию f(θ + k), где k - любое целое число.

На рис. 14.15 изображены первые 16 функций Уолша.

Рис. 14.15. Нумерация функций Уолша при различных способах упорядочения. Размер базиса N = 16
Рис. 14.15. Нумерация функций Уолша при различных способах упорядочения. Размер базиса N = 16

Некоторые особенности разложения непрерывных функций по системе Уолша иллюстрируются в § 14.5 на примерах.

Как уже ранее отмечалось, функции Уолша хорошо сочетаются с современной микроэлектроникой и могут быть легко сформированы с помощью ключевых схем. Один из возможных вариантов схемы генератора первых восьми функций представлен на рис. 14.16.

Рис. 14.16. Генератор первых восьми функций Уолша
Рис. 14.16. Генератор первых восьми функций Уолша

Алгоритм формирования функций Уолша в этом генераторе основан на выражении (14.30), т. е. на перемножении степеней трех функций Радемахера: r1(θ), r2(θ) и r3(θ). Функция r3(θ) получается непосредственно от генератора меандрового колебания. Вторая функция r2(θ) получается из r3(θ) удлинением периода этого колебания в два раза. Это достигается с помощью триггера, запускаемого положительными импульсами (с выхода дифференцирующей RC-цепи и диода), возникающими в начале каждого периода входного меандра. Аналогичным способом из r2(θ) получается функция r1(θ). Полученные функции r1(θ), r2(θ) и r3(θ) поступают либо непосредственно на выход генератора, либо на перемножители Y. Каждый перемножитель представляет собой устройство совпадения, обладающее следующей таблицей истинности:


Устройство запускается импульсом, который одновременно устанавливает все триггеры в состояние "1".

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2018
При копировании обязательна установка активной ссылки:
http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'