14.5. Примеры применения функций Уолша

1. Определение спектра синусоиды (рис. 14.17, а) в базисе функций Уолша. Интервал разложения Т₀ в данном случае целесообразно приравнять величине Т.

Рис. 14.17. Стробирование отрезка синусоиды функциями Уолша

Переходя к безразмерному времени θ = t/Т, запишем колебание s(t) в форме s₁(θ) = sin 2πθ. Ограничимся 16-ю функциями, причем сначала выберем упорядочение по Уолшу. Поскольку заданная функция s₁(θ) нечетна относительно точки θ = ¹/₂, все коэффициенты А(i) при четных функциях Уолша в ряде (14.38), т. е. при cal (j, θ), равны нулю.

Те из оставшихся восьми функций wal (i, θ), которые совпадают с функциями Радемахера и имеют периодичность внутри интервала [0, 1) кратную периоду функции s₁(θ), также приводят к нулевым коэффициентам А(i). К таким функциям относятся wal (3, θ), wal (7, θ) и wal (15, θ). Наконец, функция wal (11, θ), нечетная не только относительно точки θ = ¹/₂, но также относительно точек θ = ¹/₄ и θ = ³/₄ [внутри интервалов [0, ¹/₂) и (¹/₂, 1), приводит к нулевому коэффициенту A(11) из-за четности s₁(θ) в указанных интервалах.

Итак, лишь четыре коэффициента из 16 не равны нулю: А(1), А(5), A(9) и A(13). Определим эти коэффициенты по формуле (14.39). Подынтегральные функции, являющиеся произведениями сигнала s₁(θ) (рис. 14.17, а) и соответствующей функции wal (i, θ), представлены на рис. 14.17, б-д. Кусочное интегрирование этих произведений дает

Спектр рассматриваемого сигнала s₁(θ) в базисе функций Уолша (упорядоченных по Уолшу) представлен на рис. 14.18, а. При упорядочении по Пэли и Адамару спектр того же сигнала принимает вид, показанный на рис. 14.18, б и в. Эти спектры получены из спектра на рис. 14.18, а перестановкой коэффициентов в соответствии с таблицей (рис. 14.15), показывающей взаимосвязь между способами упорядочения функций Уолша (для N = 16).

Рис. 14.18. Спектры синусоиды в базисе функций Уолша, упорядоченных по Уолшу (а), Пэли (б) и Адамару (в). Размер базиса N = 16

Для уменьшения искажений при представлении колебания ограниченным числом функций Уолша предпочтение следует отдавать упорядочению, которое обеспечивает монотонное убывание спектра. Иными словами, наилучшим является упорядочение, при котором каждый следующий спектральный компонент не больше (по модулю) предыдущего, т. е. |A(i + 1)| ≤ |A(i)|. В этом смысле наилучшим упорядочением при представлении отрезка синусоиды, как это следует из рис. 14.18, является упорядочение Пэли, а наихудшим - Адамара.

Восстановление исходного сигнала (рис. 14.17, а) с помощью четырех функций Уолша представлено на рис. 14.19. От способа упорядочения функций это построение, разумеется, не зависит. Очевидно, что для более удовлетворительной аппроксимации синусоидального колебания в базисе Уолша требуется существенное увеличение числа спектральных компонентов.

Рис. 14.19. Аппроксимация синусоиды функциями Уолша

Вне интервала [0, 1) ряд (14.38), как отмечалось в § 14.4, описывает периодическое продолжение s₁(θ), в данном примере гармоническую функцию.

2. Спектр гармонического колебания s(t) = cos(ωt + θ₀) (рис. 14.20) в базисе функций Уолша. Как и в предыдущем примере, рассматривается один цикл гармонического колебания с периодом Т = 2 π/ω. Переходя к безразмерному времени θ = t/Т, записываем колебание s(t) в форме

Рис. 14.20. Один период гармонического колебания на интервале 0 ≤ θ < 1

Спектр Уолша функции sin 2πθ определен в примере 1. Совершенно аналогично определение спектра функции cos 2πθ на интервале [0, 1). Необходимо лишь функции sal (j, θ) заменить функциями cal (j, θ). Легко проверить, что при упорядочении по Уолшу новые коэффициенты A(i) в ряде (14.38) будут: А(2), А(6), A(10) и A(14) вместо A(1), A(5), S(9) и S(13). При этом значения коэффициентов остаются прежними.

Таким образом, ряд (14.38) для рассматриваемого колебания можно записать в форме

Итак, при сдвиге гармонического колебания по фазе спектр Уолша содержит четные и нечетные функции cal (j, θ) и sal (j, θ).

3. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 14.21) в базисе функций Уолша. Определим колебание s(t) на интервале [0, Т₀) выражением s(t) = 1, 0 ≤ t < τ_и, и соответственно

Рис. 14.21. Один цикл периодической импульсной последовательности при τ_и/Т₀ = 1/2

Структура спектра Уолша заданного колебания сильно зависит от соотношения между τ_и и Т₀. Временная база Т₀ является дополнительным и произвольно выбираемым параметром функций Уолша. Действительно, при спектр содержит лишь одну функцию wal (0, θ) с коэффициентом A(0) = 1. При τ_и/Т₀ = ¹/₂ колебание (14.40) полностью определяется двумя функциями: wal (0, θ) и wal (1, θ) с коэффициентами А(0) = А(1) = ¹/₂.

Далее, при использование формулы (14.39)

дает следующие коэффициенты:

Найденные спектры представлены на рис. 14.22. Этот результат легко обобщается для последовательности прямоугольных импульсов с отношением где k - целое положительное число. Очевидно, что спектр Уолша такого колебания состоит из 2^k компонентов с одинаковыми амплитудами, равными Очень важно, что этот спектр содержит конечное число составляющих; разложение того же колебания (14.40) по гармоническим функциям является бесконечным.

Рис. 14.22. Спектры последовательности прямоугольных импульсов в базисе функций Уолша:

Рассмотрим теперь случай, когда например, Ограничиваясь первыми 16-ю функциями Уолша (в упорядочении Уолша) и опуская промежуточные выкладки, получаем

Найденный спектр представлен на рис. 14.23. При переходе к упорядоточению по Пэли структура спектра сохраняется (по модулям).

Рис. 14.23. Спектр последовательности прямоугольных импульсов в базисе функций Уолша при τ_и/Т₀ = 1/3; N = 16

Итак, при спектр Уолша периодической последовательности прямоугольных импульсов содержит бесконечно большое число составляющих. Суммирование первых 16 функций дает импульс, показанный на рис. 14.24.

Рис. 14.24. Аппроксимация прямоугольного импульса 16 функциями Уолша при τ_и/Т₀ = 1/3; N = 16

4. Влияние сдвига импульсной периодической последовательности на спектр Уолша.

Рассмотрим этот вопрос на примере импульсной последовательности при (рис. 14.25), смещенной на τ_и/2 относительно аналогичной последовательности, см. пример 3.

Рис. 14.25. Один цикл периодической последовательности импульсов на интервале 0,5 ≤ θ < 1

Используя функции Уолша (в упорядочении Уолша), определенные на интервале (см. рис. 14.14), запишем выражение для коэффициентов Уолша

откуда получаются следующие ненулевые коэффициенты:

Полученный спектр (рис. 14.26) спектра от сдвига колебания s(t) на оси времени является особенностью анализа в базисе функций Уолша. Эта особенность связана с непериодичностью функций Уолша на единичном интервале их определения. Напомним, что при разложении по гармоническим функциям сдвиг сигнала во времени влияет лишь на фазочастотную характеристику спектра (см. § 2.7).

Рис. 14.26. Влияние сдвига импульсной последовательности на спектр Уолша (сравнить с рис. 14.22, в)