11. Динамика выхода самонастраивающейся системы в область экстремума

Рассмотрим динамику выхода самонастраивающейся системы в область экстремума после ее включения.

Пусть входная линейная часть (рис. 6.25) является интегрирующим звеном, т. е. сигнал q непрерывно растет при положительном (ур. 6.11.) значении напряжения u₁ и уменьшается - при отрицательной величине u₁. Следовательно, для входной части (ур. 6.4) можно записать, что

(6.12)

где k - постоянная величина.

Выходная линейная часть системы, как уже отмечалось ранее, описывается дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому его передаточная функция имеет следующий вид:

(6.13)

где Т₂ - постоянная времени выходной части;

k₂ - коэффициент усиления этой части.

Следовательно, соотношение между лапласовыми изображениями напряжений на выходе и входе выходной линейной части равно

где Н(s) - лапласово изображение функции η(t).

^* (Здесь, как и ранее, лапласовы изображения [U₂(s) и H(s)] в отличие от исходных функций [u₂(t) и η(t)] обозначаются большими буквами.)

Запишем это уравнение в несколько ином виде:

Тогда, переходя от изображений Лапласа к исходным функциям, получаем

(6.14)

Примем далее, что реверс системы осуществляется искателем экстремума в тот момент, когда величина отклонения напряжения u₂ (на выходе системы) достигнет величины

(6.15)

где u_2mах - экстремальное значение напряжения на выходе системы;

Δu₂ - заданная величина отклонения напряжения от экстремального значения.

Решая совместно уравнения (6.12) и (6.14), получаем

(6.16)

Как следует из этого уравнения, максимальное значение напряжения (u₂) на выходе системы достигается при условии

(6.17)

Если же соответственно изменить масштаб экстремального параметра (ввести η_м = k₂η), то напряжение u₂ будет иметь максимальное значение при

(6.17а)

т. е. в точках пересечения кривых u₂ = φ(q) и η_м = f(q).

Основываясь на этом, рассмотрим динамику выхода системы в область экстремума.

Допустим (рис. 6.28), что система находится в начале координат (точка а). При увеличении q в окрестности точки а из-за наличия запаздывания в выходной части системы будет иметь место неравенство

(6.18)

т. е. кривая u₂ = φ(q) пойдет ниже кривой η_м = f(q).

Рис. 6.28. Динамика выхода системы в область экстремума

Поскольку при этом q возрастает, то (ур. 6.16 и 6.18) в окресностях точки а

Так будет продолжаться до точки b, в которой кривые u₂ = φ(q) и η_м = f(q) пересекаются. Поэтому (ур. 6.17а) в точке b

После достижения в точке b максимума напряжение u₂ начинает уменьшаться. Как только (ур. 6.15) разница u_2b - u₂ достигнет величины Δu₂, произойдет реверс системы (точка с). В этот момент напряжение на входе системы (u₁) меняет знак на обратный и (ур. 6.11) становится равным

и q начинает уменьшаться.

После точки с кривая u₂ = φ(q) вначале идет выше кривой η_м = f(q). Поэтому (u₂ > η_м), учитывая то что перед правой частью уравнения (6.16) стоит знак минус (u₁ = -k), получим

т. е. кривая u₂ = φ(q) имеет положительную кривизну.

Поскольку после точки с параметр q уменьшается, а функция u₂ = f(q) имеет положительную кривизну, то напряжение u₂ также уменьшается. Поэтому в определенной точке (d) кривые u₂ = φ(q) и η_м = f(q) пересекаются. Так как в точке d наступает равенство u₂ = η_м = k₂η, то производная в этой точке равна (ур. 6.16)

После точки d напряжение u₂ становится меньше η_м; поэтому (ур. 6.16) кривая u₂ = φ(q) опять имеет отрицательную кривизну (ибо u₁ = -k):

Легко увидеть, что в точке е эта производная вновь становится равной нулю. После точки е напряжение u₂ начинает снижаться, так как q продолжает уменьшаться, а производная (u₂ > η_м) становится больше нуля:

В точке f разница u_2е - u₂ достигает Δu₂, и система вновь реверсируется, благодаря чему q начинает возрастать.

Так будет продолжаться до тех пор, пока система не выйдет в область экстремума и не начнет совершать колебания (рыскания) возле экстремальной точки.

Кривая u₂ = φ(q), характеризующая установившийся режим рыскания, называется предельным циклом рыскания (рис. 6.29). Характерной особенностью предельного цикла, отличающего его от динамических циклов выхода системы в область экстремума (рис. 6.28), является условие попадания любой точки цикла (например, точки A, рис. 6.29) самой в себя после завершения двух периодов рыскания (для точки A: от A до B и обратно).

Рис. 6.29. Предельный цикл рыскания

Система работает в предельном цикле до тех пор, пока не произойдет смещение экстремальной точки (С). После смещения этой точки система начинает двигаться в область нового экстремума, пока не выйдет на новый предельный цикл.

Рассмотрим теперь математическое описание динамики выхода системы в область экстремума (рис. 6.28) и работы ее в предельном цикле (рис. 6.29). При этом для упрощения изложения примем, что экстремальная характеристика η = f(q) является параболой. Методом, аналогичным описываемому ниже, можно проследить выход системы в область экстремума и при любом другом виде экстремальной характеристики.

Как следует из рис. 6.28, динамическая кривая выхода самонастраивающейся системы [u₂ = φ(q)] состоит из ряда полуциклов рыскания. В положительном полуцикле параметр q увеличивается. Затем положительный полуцикл сменяется отрицательным, при котором q уменьшается. Выполнив ряд полуциклов, система выходит в область экстремума и начинает работать в предельных полуциклах рыскания (рис. 6.29).

Таким образом, для того чтобы описать поведение системы, достаточно найти уравнение системы для положительного и отрицательного полуциклов.

Рассмотрим вначале положительный полуцикл, начинающийся в произвольно заданной точке с координатами u₂ и q₀.

Поскольку в положительном полуцикле (ур. 6.11) напряжение (u₁) на входе системы (рис. 6.25) равно +k, то, подставив значение η (ур. 6.3) в уравнение (6.16), получим

или

(6.19)

Решив это уравнение, можно определить искомую зависимость.

Ранее было сказано, что это уравнение (полуцикл) имеет ненулевые начальные условия (u₂ и q₀). Поэтому для того чтобы эти условия стали нулевыми, введем новые переменные

(6.20)

Тогда dz = du₂, dτ = dq. Поэтому

(6.20а)

Подставив значения u₂, q (ур. 6.20) и (ур. 6.20а) в уравнение (6.19), получаем

(6.21)

Эта зависимость отличается от уравнения (6.19) тем, что она уже имеет нулевые начальные условия. Действительно, как следует из условий (6.20), при q = q₀ переменная τ = 0. Вместе с тем, при q = q₀ напряжение u₂ = u₂₀. Поэтому (ур. 6.20) в данном случае z = 0.

Поскольку уравнение (6.21) имеет нулевые начальные условия, то, переходя от переменных z и τ к изображениям Лапласа, записываем

или

Раскладывая правую часть этого уравнения на простейшие дроби, получаем

Пользуясь таблицами преобразованных функций, находим исходную функцию

Подставив в это выражение значения z и τ (ур. 6.20), после несложных преобразований получаем

(6.22)

Полученная зависимость является уравнением положительного полуцикла движения системы, происходящего при возрастании параметра q. Для того чтобы получить уравнение отрицательного полуцикла, достаточно в уравнении (6.19), а следовательно, и в уравнении (6.22) изменить знак перед коэффициентом k, ибо в отрицательном полуцикле (ур. 6.11) u₁ = -k.

Поэтому (ур. 6.22) для отрицательного полуцикла можно записать

(6.23)

Построение всей кривой, характеризующей динамику выхода системы в область экстремума, выполняется следующим образом.

Перенесем, как это уже делалось ранее, начало координат в экстремальную точку (рис. 6.23). Тогда в начале работы системы параметры u₂ и q₀ будут равны не нулю, как на рис. 6.28, а, соответственно, u_2а и q_a (рис. 6.30).

Рис. 6.30. Характеристики системы при переносе начала координат в экстремальную точку

Поэтому, подставив в уравнение (6.22) значения u₂₀ = u_2a и q₀ = q_a, получим уравнение первого положительного полуцикла движения системы

(6.24)

Построим эту кривую (рис. 6.30). Вначале напряжение будет возрастать, но в точке b его рост прекратится и начнется уменьшение. В тот момент, когда напряжение u₂ станет равным u_2с:

(6.25)

произойдет реверс системы. Поэтому в точке c начнет свое начало первый отрицательный полуцикл рыскания системы.

Координаты точки c определяются следующим образом. В точке b кривые η_м = f(q) u₂ = φ(q) пересекаются (u_2b = η_мb). Поэтому, приравняв при q = q_b правые части уравнения (6.24) и зависимости η_м = -k₁k₂q² (ур. 6.3 и замечание выше), получаем следующую характеристику:

(6.26)

Это уравнение позволяет определить величину q_b.

Зная q_b, из уравнения (6.24) можно определить вторую координату точки b - напряжение u_2b. Затем, поскольку Δu₂ задано, уравнение (6.25) дает возможность найти u_2с. Зная u_2с, можно (ур. 6.24) найти и q_c.

Подставив в уравнение (6.23) начальные значения параметров q₀ = q_c и u₂₀ = u_2c, получим уравнение первого отрицательного полуцикла.

Продолжив это построение, можно получить всю динамическую кривую, показывающую выход системы в область экстремума.

Пример. Пусть нам задана экстремальная характеристика системы

и координаты ее начальной точки: u_2а = -9в; q_a = -3в. Кроме того, дано: k = 1; k₂ = 1; Т₂ = 2 сек; Δu₂ = 0,25в.

Подставляя эти данные в уравнение (6.24), определяем характеристику первого положительного полуцикла:

(6.27)

Находим далее координату q_b. Подставив значения параметров в уравнение (6.26), получаем:

Решая (методом подбора) это уравнение относительно q_b, получаем

Подставляя значение q_b в уравнение (6.27), определяем напряжение в точке b:

Далее определяем координаты точки c. Подставляя в уравнение (6.25) значения u_2b и Δu₂, подсчитываем первую координату:

Как следует из уравнения (6.27), в этой точке (u_2с = -2,49в)

Точка c с координатами q_c = 2,12в и u_2с = -2,49в является начальной для первого отрицательного полуцикла движения. Поэтому, подставив в уравнение (6.23) заданные значения параметров и учитывая, что q₀ = q_c = 2,14в, a u₂₀ = u_2с = -2,49в, получаем уравнение первого отрицательного полуцикла движения:

Далее можно, как и для первого положительного полуцикла, найти последнюю точку для первого отрицательного полуцикла. Эта точка будет начальной для второго положительного полуцикла... Продолжая это решение, можно построить всю динамическую кривую выхода системы в область экстремума.

Уравнения (6.22) и (6.23) определяют любые полуциклы движения системы, в том числе и предельные.

Положительный полуцикл станет предельным в том случае, если он проходит через точки А, В и С (рис. 6.31). Причем точки А и С имеют равные ординаты (u_2A = u_2C) и одинаково удалены от оси ординат (q_A = -q_C). В точке В кривые η_м = f(q) и u₂ = φ(q) пересекаются. Эти условия позволяют определить уравнения предельных полуциклов.

Рис. 6.31. Параметры предельного полуцикла

Для положительного предельного полуцикла (рис. 6.31) начальной является точка А. Поэтому, подставив в уравнение (6.22) начальные условия u₂₀ = u_2A и q₀ = q_A, получим характеристику положительного предельного полуцикла:

(6.28)

В этом уравнении имеются два неизвестных параметра - координаты точки А (u_2A и q_A). Найдем дополнительные условия, которые позволят определить эти параметры.

Ранее говорилось о том, что кривая предельного положительного полуцикла проходит через точку С. Поэтому, подставив в уравнение (6.28) q = q_C, получаем

(6.29)

В точке В (рис. 6.31) кривые η_м = f(q) и u₂ = φ(q) пересекаются. Поэтому для этой точки (ур. 6.3 и 6.17) можно записать:

(6.30)

Поскольку (ур. 6.25)

то, учитывая уравнение (6.30), получаем

(6.31)

Кроме того, подставляя в уравнение (6.28) q = q_B, записываем

Подставляя в это уравнение значения u_2В (ур. 6.30) и q_B (ур. 6.31), получаем

Как уже указывалось ранее, предельный полуцикл отличается от других полуциклов тем, что координаты точек его начала (А) и конца (С) связаны следующими зависимостями:

(6.33)

Поэтому, подставив данные условия в уравнения (6.29) и (6.32), получаем

(6.34)

(6.35)

Решая совместно эти уравнения, можно найти координаты точки С (q_C и u_2C). Тем самым (ур. 6.33) будут определены и координаты точки А. После этого по уравнению (6.28) можно построить кривую положительного предельного полуцикла рыскания. Если же в уравнении (6.28) изменить знак перед k и вместо q_A и u_2А записать новые начальные условия (q_C и u_2С), то можно определить характеристику отрицательного предельного полуцикла рыскания:

(6.36)

Пример определения характеристики предельного полуцикла. Возьмем те же параметры, что и в предыдущем примере: k = 1; k₁ = 1; k₂ = 1; T₂ = 2 сек; Δu₂ = 0,25 в.

Подставим эти данные в уравнения (6.34) и (6.35):

(6.37)

Решая методом подбора данные уравнения, получаем:

Следовательно (ур. 6.33), координаты точки А равны:

Подставив в уравнение (6.28) заданные в примере значения параметров k, k₁, k₂ и T₂, а также начальные условия (q_A и u_2A), получаем характеристику положительного предельного полуцикла рыскания:

Аналогично, подставив полученные данные в уравнение (6.36), определяем характеристику отрицательного предельного полуцикла рыскания:

Рассмотрим далее, как изменяется во времени напряжение на выходе системы (рис. 6.25) при работе ее в предельных циклах рыскания.

Предположим, как это делалось и ранее, что скорость изменения параметра q всегда (по величине) остается постоянной. Тогда для предельного цикла рыскания (рис. 6.31) q будет изменяться в соответствии с графиком, показанным на рис. 6.32. В соответствии с этим графиком в течение первого периода рыскания Т (положительного полуцикла) параметр q имеет следующую зависимость от времени:

(6.38)

где k = tg α.

Рис. 6.32. Характеристика параметра q

Подставив значение q в характеристику положительного предельного полуцикла (ур. 6.28), получим:

или после несложных преобразований будем иметь:

(6.39)

Проследить за изменением экстремального параметра η во времени можно, подставив в уравнение (6.3) значение q (ур. 6.38). В результате получим

(6.40)

Как было показано в разделе 6.9, потеря на рыскание (D) определяется как среднее за период рыскания значение экстремального параметра:

(6.41)

Прежде всего необходимо определить период рыскания (Т). Как следует из рис. 6.31 и 6.32, период рыскания системы равен времени ее движения из точки А в точку С (или обратно). Поэтому, приравняв (ур. 6.38) q = q_C, получаем

откуда

Подставив в это выражение q_C (ур. 6.33), определяем период рыскания:

(6.42)

Теперь подставим в уравнение (6.41) значение η (ур. 6.40) и Т (ур. 6.42). Тогда получаем

откуда после интегрирования определяем потерю на рыскание:

(6.43)

Для рассмотренного выше примера потеря на рыскание составляет