НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    О САЙТЕ




предыдущая главасодержаниеследующая глава

11. Динамика выхода самонастраивающейся системы в область экстремума

Рассмотрим динамику выхода самонастраивающейся системы в область экстремума после ее включения.

Пусть входная линейная часть (рис. 6.25) является интегрирующим звеном, т. е. сигнал q непрерывно растет при положительном (ур. 6.11.) значении напряжения u1 и уменьшается - при отрицательной величине u1. Следовательно, для входной части (ур. 6.4) можно записать, что

(6.12)

где k - постоянная величина.

Выходная линейная часть системы, как уже отмечалось ранее, описывается дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому его передаточная функция имеет следующий вид:

(6.13)

где Т2 - постоянная времени выходной части;

k2 - коэффициент усиления этой части.

Следовательно, соотношение между лапласовыми изображениями напряжений на выходе и входе выходной линейной части равно


где Н(s) - лапласово изображение функции η(t).

* (Здесь, как и ранее, лапласовы изображения [U2(s) и H(s)] в отличие от исходных функций [u2(t) и η(t)] обозначаются большими буквами.)

Запишем это уравнение в несколько ином виде:


Тогда, переходя от изображений Лапласа к исходным функциям, получаем

(6.14)

Примем далее, что реверс системы осуществляется искателем экстремума в тот момент, когда величина отклонения напряжения u2 (на выходе системы) достигнет величины

(6.15)

где u2mах - экстремальное значение напряжения на выходе системы;

Δu2 - заданная величина отклонения напряжения от экстремального значения.

Решая совместно уравнения (6.12) и (6.14), получаем

(6.16)

Как следует из этого уравнения, максимальное значение напряжения (u2) на выходе системы достигается при условии

(6.17)

Если же соответственно изменить масштаб экстремального параметра (ввести ηм = k2η), то напряжение u2 будет иметь максимальное значение при

(6.17а)

т. е. в точках пересечения кривых u2 = φ(q) и ηм = f(q).

Основываясь на этом, рассмотрим динамику выхода системы в область экстремума.

Допустим (рис. 6.28), что система находится в начале координат (точка а). При увеличении q в окрестности точки а из-за наличия запаздывания в выходной части системы будет иметь место неравенство

(6.18)

т. е. кривая u2 = φ(q) пойдет ниже кривой ηм = f(q).

Рис. 6.28. Динамика выхода системы в область экстремума
Рис. 6.28. Динамика выхода системы в область экстремума

Поскольку при этом q возрастает, то (ур. 6.16 и 6.18) в окресностях точки а


Так будет продолжаться до точки b, в которой кривые u2 = φ(q) и ηм = f(q) пересекаются. Поэтому (ур. 6.17а) в точке b


После достижения в точке b максимума напряжение u2 начинает уменьшаться. Как только (ур. 6.15) разница u2b - u2 достигнет величины Δu2, произойдет реверс системы (точка с). В этот момент напряжение на входе системы (u1) меняет знак на обратный и (ур. 6.11) становится равным


и q начинает уменьшаться.

После точки с кривая u2 = φ(q) вначале идет выше кривой ηм = f(q). Поэтому (u2 > ηм), учитывая то что перед правой частью уравнения (6.16) стоит знак минус (u1 = -k), получим


т. е. кривая u2 = φ(q) имеет положительную кривизну.

Поскольку после точки с параметр q уменьшается, а функция u2 = f(q) имеет положительную кривизну, то напряжение u2 также уменьшается. Поэтому в определенной точке (d) кривые u2 = φ(q) и ηм = f(q) пересекаются. Так как в точке d наступает равенство u2 = ηм = k2η, то производная в этой точке равна (ур. 6.16)


После точки d напряжение u2 становится меньше ηм; поэтому (ур. 6.16) кривая u2 = φ(q) опять имеет отрицательную кривизну (ибо u1 = -k):


Легко увидеть, что в точке е эта производная вновь становится равной нулю. После точки е напряжение u2 начинает снижаться, так как q продолжает уменьшаться, а производная (u2 > ηм) становится больше нуля:


В точке f разница u2е - u2 достигает Δu2, и система вновь реверсируется, благодаря чему q начинает возрастать.

Так будет продолжаться до тех пор, пока система не выйдет в область экстремума и не начнет совершать колебания (рыскания) возле экстремальной точки.

Кривая u2 = φ(q), характеризующая установившийся режим рыскания, называется предельным циклом рыскания (рис. 6.29). Характерной особенностью предельного цикла, отличающего его от динамических циклов выхода системы в область экстремума (рис. 6.28), является условие попадания любой точки цикла (например, точки A, рис. 6.29) самой в себя после завершения двух периодов рыскания (для точки A: от A до B и обратно).

Рис. 6.29. Предельный цикл рыскания
Рис. 6.29. Предельный цикл рыскания

Система работает в предельном цикле до тех пор, пока не произойдет смещение экстремальной точки (С). После смещения этой точки система начинает двигаться в область нового экстремума, пока не выйдет на новый предельный цикл.

Рассмотрим теперь математическое описание динамики выхода системы в область экстремума (рис. 6.28) и работы ее в предельном цикле (рис. 6.29). При этом для упрощения изложения примем, что экстремальная характеристика η = f(q) является параболой. Методом, аналогичным описываемому ниже, можно проследить выход системы в область экстремума и при любом другом виде экстремальной характеристики.

Как следует из рис. 6.28, динамическая кривая выхода самонастраивающейся системы [u2 = φ(q)] состоит из ряда полуциклов рыскания. В положительном полуцикле параметр q увеличивается. Затем положительный полуцикл сменяется отрицательным, при котором q уменьшается. Выполнив ряд полуциклов, система выходит в область экстремума и начинает работать в предельных полуциклах рыскания (рис. 6.29).

Таким образом, для того чтобы описать поведение системы, достаточно найти уравнение системы для положительного и отрицательного полуциклов.

Рассмотрим вначале положительный полуцикл, начинающийся в произвольно заданной точке с координатами u2 и q0.

Поскольку в положительном полуцикле (ур. 6.11) напряжение (u1) на входе системы (рис. 6.25) равно +k, то, подставив значение η (ур. 6.3) в уравнение (6.16), получим


или

(6.19)

Решив это уравнение, можно определить искомую зависимость.

Ранее было сказано, что это уравнение (полуцикл) имеет ненулевые начальные условия (u2 и q0). Поэтому для того чтобы эти условия стали нулевыми, введем новые переменные

(6.20)

Тогда dz = du2, dτ = dq. Поэтому

(6.20а)

Подставив значения u2, q (ур. 6.20) и (ур. 6.20а) в уравнение (6.19), получаем

(6.21)

Эта зависимость отличается от уравнения (6.19) тем, что она уже имеет нулевые начальные условия. Действительно, как следует из условий (6.20), при q = q0 переменная τ = 0. Вместе с тем, при q = q0 напряжение u2 = u20. Поэтому (ур. 6.20) в данном случае z = 0.

Поскольку уравнение (6.21) имеет нулевые начальные условия, то, переходя от переменных z и τ к изображениям Лапласа, записываем


или


Раскладывая правую часть этого уравнения на простейшие дроби, получаем


Пользуясь таблицами преобразованных функций, находим исходную функцию


Подставив в это выражение значения z и τ (ур. 6.20), после несложных преобразований получаем

(6.22)

Полученная зависимость является уравнением положительного полуцикла движения системы, происходящего при возрастании параметра q. Для того чтобы получить уравнение отрицательного полуцикла, достаточно в уравнении (6.19), а следовательно, и в уравнении (6.22) изменить знак перед коэффициентом k, ибо в отрицательном полуцикле (ур. 6.11) u1 = -k.

Поэтому (ур. 6.22) для отрицательного полуцикла можно записать

(6.23)

Построение всей кривой, характеризующей динамику выхода системы в область экстремума, выполняется следующим образом.

Перенесем, как это уже делалось ранее, начало координат в экстремальную точку (рис. 6.23). Тогда в начале работы системы параметры u2 и q0 будут равны не нулю, как на рис. 6.28, а, соответственно, u2а и qa (рис. 6.30).

Рис. 6.30. Характеристики системы при переносе начала координат в экстремальную точку
Рис. 6.30. Характеристики системы при переносе начала координат в экстремальную точку

Поэтому, подставив в уравнение (6.22) значения u20 = u2a и q0 = qa, получим уравнение первого положительного полуцикла движения системы

(6.24)

Построим эту кривую (рис. 6.30). Вначале напряжение будет возрастать, но в точке b его рост прекратится и начнется уменьшение. В тот момент, когда напряжение u2 станет равным u2с:

(6.25)

произойдет реверс системы. Поэтому в точке c начнет свое начало первый отрицательный полуцикл рыскания системы.

Координаты точки c определяются следующим образом. В точке b кривые ηм = f(q) u2 = φ(q) пересекаются (u2b = ηмb). Поэтому, приравняв при q = qb правые части уравнения (6.24) и зависимости ηм = -k1k2q2 (ур. 6.3 и замечание выше), получаем следующую характеристику:

(6.26)

Это уравнение позволяет определить величину qb.

Зная qb, из уравнения (6.24) можно определить вторую координату точки b - напряжение u2b. Затем, поскольку Δu2 задано, уравнение (6.25) дает возможность найти u2с. Зная u2с, можно (ур. 6.24) найти и qc.

Подставив в уравнение (6.23) начальные значения параметров q0 = qc и u20 = u2c, получим уравнение первого отрицательного полуцикла.

Продолжив это построение, можно получить всю динамическую кривую, показывающую выход системы в область экстремума.

Пример. Пусть нам задана экстремальная характеристика системы


и координаты ее начальной точки: u2а = -9в; qa = -3в. Кроме того, дано: k = 1; k2 = 1; Т2 = 2 сек; Δu2 = 0,25в.

Подставляя эти данные в уравнение (6.24), определяем характеристику первого положительного полуцикла:

(6.27)

Находим далее координату qb. Подставив значения параметров в уравнение (6.26), получаем:


Решая (методом подбора) это уравнение относительно qb, получаем


Подставляя значение qb в уравнение (6.27), определяем напряжение в точке b:


Далее определяем координаты точки c. Подставляя в уравнение (6.25) значения u2b и Δu2, подсчитываем первую координату:


Как следует из уравнения (6.27), в этой точке (u2с = -2,49в)


Точка c с координатами qc = 2,12в и u2с = -2,49в является начальной для первого отрицательного полуцикла движения. Поэтому, подставив в уравнение (6.23) заданные значения параметров и учитывая, что q0 = qc = 2,14в, a u20 = u2с = -2,49в, получаем уравнение первого отрицательного полуцикла движения:


Далее можно, как и для первого положительного полуцикла, найти последнюю точку для первого отрицательного полуцикла. Эта точка будет начальной для второго положительного полуцикла... Продолжая это решение, можно построить всю динамическую кривую выхода системы в область экстремума.

Уравнения (6.22) и (6.23) определяют любые полуциклы движения системы, в том числе и предельные.

Положительный полуцикл станет предельным в том случае, если он проходит через точки А, В и С (рис. 6.31). Причем точки А и С имеют равные ординаты (u2A = u2C) и одинаково удалены от оси ординат (qA = -qC). В точке В кривые ηм = f(q) и u2 = φ(q) пересекаются. Эти условия позволяют определить уравнения предельных полуциклов.

Рис. 6.31. Параметры предельного полуцикла
Рис. 6.31. Параметры предельного полуцикла

Для положительного предельного полуцикла (рис. 6.31) начальной является точка А. Поэтому, подставив в уравнение (6.22) начальные условия u20 = u2A и q0 = qA, получим характеристику положительного предельного полуцикла:

(6.28)

В этом уравнении имеются два неизвестных параметра - координаты точки А (u2A и qA). Найдем дополнительные условия, которые позволят определить эти параметры.

Ранее говорилось о том, что кривая предельного положительного полуцикла проходит через точку С. Поэтому, подставив в уравнение (6.28) q = qC, получаем

(6.29)

В точке В (рис. 6.31) кривые ηм = f(q) и u2 = φ(q) пересекаются. Поэтому для этой точки (ур. 6.3 и 6.17) можно записать:

(6.30)

Поскольку (ур. 6.25)


то, учитывая уравнение (6.30), получаем

(6.31)

Кроме того, подставляя в уравнение (6.28) q = qB, записываем


Подставляя в это уравнение значения u2В (ур. 6.30) и qB (ур. 6.31), получаем


Как уже указывалось ранее, предельный полуцикл отличается от других полуциклов тем, что координаты точек его начала (А) и конца (С) связаны следующими зависимостями:

(6.33)

Поэтому, подставив данные условия в уравнения (6.29) и (6.32), получаем

(6.34)
(6.35)

Решая совместно эти уравнения, можно найти координаты точки С (qC и u2C). Тем самым (ур. 6.33) будут определены и координаты точки А. После этого по уравнению (6.28) можно построить кривую положительного предельного полуцикла рыскания. Если же в уравнении (6.28) изменить знак перед k и вместо qA и u2А записать новые начальные условия (qC и u2С), то можно определить характеристику отрицательного предельного полуцикла рыскания:

(6.36)

Пример определения характеристики предельного полуцикла. Возьмем те же параметры, что и в предыдущем примере: k = 1; k1 = 1; k2 = 1; T2 = 2 сек; Δu2 = 0,25 в.

Подставим эти данные в уравнения (6.34) и (6.35):

(6.37)

Решая методом подбора данные уравнения, получаем:


Следовательно (ур. 6.33), координаты точки А равны:


Подставив в уравнение (6.28) заданные в примере значения параметров k, k1, k2 и T2, а также начальные условия (qA и u2A), получаем характеристику положительного предельного полуцикла рыскания:


Аналогично, подставив полученные данные в уравнение (6.36), определяем характеристику отрицательного предельного полуцикла рыскания:


Рассмотрим далее, как изменяется во времени напряжение на выходе системы (рис. 6.25) при работе ее в предельных циклах рыскания.

Предположим, как это делалось и ранее, что скорость изменения параметра q всегда (по величине) остается постоянной. Тогда для предельного цикла рыскания (рис. 6.31) q будет изменяться в соответствии с графиком, показанным на рис. 6.32. В соответствии с этим графиком в течение первого периода рыскания Т (положительного полуцикла) параметр q имеет следующую зависимость от времени:

(6.38)

где k = tg α.

Рис. 6.32. Характеристика параметра q
Рис. 6.32. Характеристика параметра q

Подставив значение q в характеристику положительного предельного полуцикла (ур. 6.28), получим:


или после несложных преобразований будем иметь:

(6.39)

Проследить за изменением экстремального параметра η во времени можно, подставив в уравнение (6.3) значение q (ур. 6.38). В результате получим

(6.40)

Как было показано в разделе 6.9, потеря на рыскание (D) определяется как среднее за период рыскания значение экстремального параметра:

(6.41)

Прежде всего необходимо определить период рыскания (Т). Как следует из рис. 6.31 и 6.32, период рыскания системы равен времени ее движения из точки А в точку С (или обратно). Поэтому, приравняв (ур. 6.38) q = qC, получаем


откуда


Подставив в это выражение qC (ур. 6.33), определяем период рыскания:

(6.42)

Теперь подставим в уравнение (6.41) значение η (ур. 6.40) и Т (ур. 6.42). Тогда получаем


откуда после интегрирования определяем потерю на рыскание:

(6.43)

Для рассмотренного выше примера потеря на рыскание составляет


предыдущая главасодержаниеследующая глава


ИНТЕРЕСНО:
  • Intel - уже не крупнейший производитель полупроводников
  • 'Ростех' показал компьютеры на базе российских процессоров 'Эльбрус-8С'
  • 'Байкал Электроникс' выполнила очередной этап проекта по промышленному производству микропроцессоров
  • Представлен самый сложный на сегодняшний день микрочип, изготовленный из двумерного материала
  • Инженеры IBM уместили 30 млрд транзисторов на чип размером с ноготь
  • Samsung может обогнать Intel и стать производителем чипов №1
  • Отечественный персональный компьютер 'Эльбрус-401 РС' пошёл в серийное производство
  • Появился первый официально признанный «полностью российский чип»
  • 'Ангстрем' представил полностью отечественную линейку изделий силовой электроники
  • Samsung первой в мире запустила производство 10-нанометровых чипов
  • На базе российского процессора КОМДИВ-64 создан защищенный компьютер для военных
  • Названа цена разработки российских процессоров «Эльбрус»
  • В России разработан микроконтроллер «электронного мозга» для транспорта и робототехники
  • «Ангстрем» разработал уникальные космические транзисторы
  • Микрон вошёл в ОЭЗ с проектами производства чипов 65-45-28 нм и собственной территорией
  • Основной российский производитель электролитических конденсаторов получил 280 млн на новый импортозамещающий проект
  • В Томске разработана технология синтеза вещества для производства прозрачной электроники
  • У нас тут своя архитектура
  • Роберт Бауэр - создатель SAGFET-транзисторов
  • В России выпустили 6-ядерный 40-нм процессор
  • После 4 лет простоя Егоршинский радиозавод модернизирует производство
  • Завод радиоэлектроники открыт 'Микраном' в Томске
  • Джек Сент Клер Килби - изобретатель интегральных схем






  • © Сенченко Антонина Николаевна, Злыгостев Алексей Сергеевич, 2010-2017
    При копировании обязательна установка активной ссылки:
    http://rateli.ru/ 'rateli.ru: Радиотехника'